1-38 Calcule a integral

37- ∫ 1 3 x  arctg ⁡ x   d x

Passo 1

E aí ? Prontos pra resolver mais uma integral ??? Eu espero que a sua resposta seja simmmm, mas independente disso, vamos ao trabalho

Caraaa, quando você vê esse tipo de integral uma coisa tem que vir logo na sua cabeça:

LIATE

Whattt ???

Esse é o macete que a gente usa pra escolher o u (da integral por partes, lembra ??? Alguém tem que ser o u e o outro vai ser o d v .)

Tudo bem.... Mas o que significa essa abreviação ???

(logarítima > inversa trigonométrica > algébrica > trigonométrica > exponencial)

Essa é a ordem de prioridade das funções candidatas a serem o u , oK ?

Passo 2

Bom, nesse caso a prioridade é da função inversa trigonométrica. Dessa forma,

u = a r c t g   x

d v = x   d x

Agora, nós precisamos encontrar o d u e o v :

u = a r c t g   x

Derivando:

d u = 1 x 2 + 1 × 1 2 x

E

d v =   x   d x

Fazendo a integral:

∫ d v = ∫ x   d x

∫ x   d x = x 3 2 3 2 = 2 3 x 3 2

v = 2 3 x 3 2

Passo 3

Gente, além do LIATE, nós temos que lembrar da regrinha da integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aplicando os nossos termos na equação, temos:

∫ u   d v = 2 3 x 3 2 × a r c t g   x - 2 3 ∫ x 3 2 × 1 x 2 + 1 × 1 2 x d x

Resolvendo a integral:

1 2 ∫ x x + 1   d x

1 2 ∫ x + 1 - 1 x + 1   d x

1 2 ( ∫ 1   d x - ∫ 1 x + 1   d x )  

x 2 - ln ⁡ x + 1 2

Assim,

∫ u   d v = 2 3 ( x 3 2 × a r c t g   x - x 2 + ln ⁡ x + 1 2 )  

Galera, nós só não podemos nos iludir achando que a questão acabou por aqui, lembrem-se que essa é um integral definida. Dessa forma,

∫ 1 3 x  arctg ⁡ x   d x = 2 3 ( x 3 2 × a r c t g   x 1 3 -   x 2 + ln ⁡ x + 1 2 1 3 )  

∫ 1 3 x  arctg ⁡ x   d x = 1 3 ( 2 3 π - π 2 - 2 + l n 2 )

Resposta

1 3 ( 2 3 π - π 2 - 2 + l n 2 )

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