1-38 Calcule a integral

33- ∫ 2 4 a r c s e c   θ   d θ

Passo 1

E aí ? Prontos pra resolver mais uma integral ??? Eu espero que a sua resposta seja simmmm, mas independente disso, vamos ao trabalho

Caraaa, quando você vê esse tipo de integral uma coisa tem que vir logo na sua cabeça:

LIATE

Whattt ???

Esse é o macete que a gente usa pra escolher o u (da integral por partes, lembra ??? Alguém tem que ser o u e o outro vai ser o d v .)

Tudo bem.... Mas o que significa essa abreviação ???

(logarítima > inversa trigonométrica > algébrica > trigonométrica > exponencial)

Essa é a ordem de prioridade das funções candidatas a serem o u , oK ?

Passo 2

Gente, antes de começarmos a integral de fato vamos fazer uma substituição só pra ficar mais fácil:

w = θ

d w = 1 2   θ   d θ = 1 2 w d θ

Assim,

2 ∫ 2 4 w   a r c s e c   w   d w

Nesse caso a prioridade é da função inversa trigonométrica. Dessa forma,

u = a r c s e c   w

d v = w   d w

Agora, nós precisamos encontrar o d u e o v :

u = a r c s e c   w

Derivando:

d u = 1 w   w 2 - 1 d w

E

d v =   w   d w

Fazendo a integral:

∫ d v = ∫ w   d w

∫ w   d w = w 2 2

v = w 2 2

Passo 3

Gente, além do LIATE, nós temos que lembrar da regrinha da integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aplicando os nossos termos na equação, temos:

2 ∫ u   d v = 2   a r c s e n   w × w 2 2 - ∫ w 2 2 × 1   w   w 2 - 1 d w =

2 ∫ u   d v =   a r c s e n   w × w 2 - ∫ w 2 × 1   w   w 2 - 1 d w

Bora resolver essa integral, força guerreiros !!!

∫ w   w 2 - 1   d w

Vamos fazer uma substituição:

w 2 - 1 = z

2   w d w = d z

w   d w = d z

Assim,

1 2 ∫ 1   z   d z = 1 2 z × 2 = z = w 2 - 1  

Consequentemente,

2 ∫ u   d v =   a r c s e c   w × w 2 - w 2 - 1    

Desfazendo a substituição:

∫ 2 4 a r c s e c   θ   d θ = x   a r c e c   x 2 4 - x - 1 2 4

= 5 π 6 - 3 +   1

Resposta

5 π 6 - 3 +   1

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