Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

14) ∫ x + 1 x 2 + 9 d x

Passo 1

I = ∫ x + 1 x 2 + 9 d x

Analisando a integral, podemos pensar em dividir em frações parciais, mas as raízes dessa equação são complexas. Então vamos tentar outra coisa!

I = ∫ x + 1 x 2 + 9 d x = ∫ x x 2 + 9 d x + ∫ 1 x 2 + 9 d x = I 1 + I 2  

Passo 2

Agora vamos resolver cada integral individualmente!

I 1 =   ∫ x x 2 + 9 d x

Considere a seguinte substituição de variável:

u = x 2 + 9

Derivando,

d u = 2 x   d x → d u 2 = x   d x

Nossa integral vai ficar assim:

I 1 = ∫ x x 2 + 9 d x = ∫ 1 u ⋅ d u 2 = 1 2 ⋅ ∫ d u u

Logo,

I 1 = 1 2 ln ⁡ u + c 1

Como u = x 2 + 9

I 1 = 1 2 ln ⁡ x 2 + 9 + c 1

Passo 3

Para resolver a outra parcela:

I 2 = ∫ 1 x 2 + 9 d x

Colocando o 9 em evidência:

I 2 = ∫ 1 9 ⋅ x 2 9 + 1 d x = 1 9 ⋅ ∫ 1 x 2 9 + 1 d x = 1 9 ⋅ ∫ 1 x 3 2 + 1 d x

Pra facilitar, podemos fazer a seguinte substituição:

u = x 3  

Derivando,

d u = d x 3

Não esquece: ∫ d u 1 + u 2 = arctan ⁡ u + c

Logo,

I 2 = 1 9 ⋅ ∫ 1 u 2 + 1 ⋅ 3   d u = 3 9 ⋅ ∫ d u 1 + u 2 = 1 3 ⋅ arctan ⁡ u + c 2

Voltando para x :

I 2 = 1 3 ⋅ arctan ⁡ x 3 + c 2

Passo 4

Agora vamos finalizar!

I 1 = 1 2 ln ⁡ x 2 + 9 + c 1

I 2 = 1 3 ⋅ arctan ⁡ x 3 + c 2

Portanto,

I = I 1 + I 2 = 1 2 ln ⁡ x 2 + 9 + c 1 + 1 3 ⋅ arctan ⁡ x 3 + c 2

Juntando as constantes:

I = 1 2 ln ⁡ x 2 + 9 + 1 3 ⋅ arctan ⁡ x 3 + c

Resposta

1 2 ln ⁡ x 2 + 9 + 1 3 ⋅ arctan ⁡ x 3 + c

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais ∫ 8 x 2 + 8 x + 2 4 x 2 + 1 2   d x
Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais ∫ y 2 + 2 y + 1 y 2 + 1 2   d y
Calcule. ∫ 4 x 3 - x 2 - 2 x d x
Calcule a integral ∫ 1 x - 2 x 2 + 4 d x
Calcule a integral. ∫ d x x + x x
36. Numa determinada cidade com população A, 20% dos habitantes ouviram pelo rádio a notícia de um escândalo político local. A taxa de disseminação da informação é conjuntamente pr...
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. ∫ sec 2 ⁡ t t g 2 t + 3 t g   t + 2 d t
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. ∫ 1 x - x 3 d x
Calcule a integral. ∫ a x x 2 - b x d x
Calcule a integral completando o quadrado e usando a fórmula 6. ∫ 1 x 2 - 2 x d x
Calcule a integral. ∫ d s s 2 s - 1 2
Calcule a integral. ∫ x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 6 x   d x