Calcule.

56- ∫ 0 π 2 s e n 2 x   d x

Passo 1

Galerinha, para resolver essa integral nós temos que nos lembrar do 1 ° teorema fundamental do cálculo:

Se for integrável em [ a ,   b ] e se F for uma primitiva de f em [ a ,   b ] , então

∫ a b f x   d x = F b - F ( a )

Então o que vamos fazer aqui é integrar f ( x ) para encontrar a nossa primitiva F ( x ) , e depois substituir os limites de integração.

Bora lá!

Passo 2

Antes de integrar, vamos dar uma mexida na função para ela ficar com uma cara mais de integrar?!

Nós temos a seguinte integral para resolver, ∫ 0 π 2 s e n 2 x   d x

Vamos tentar simplificar, sumindo com esse s e n 2 x . A gente consegue fazer aplicando a seguinte identidade trigonométrica:

s e n 2 x = 1 2 - cos ⁡ 2 x 2

Então podemos reescrever a nossa integral dessa forma,

∫ 0 π 2 1 2 - cos ⁡ 2 x 2 d x

Mais uma coisa, como a integral da soma é a soma das integrais, temos:

∫ 0 π 2 1 2 d x -   ∫ 0 π 2 cos ⁡   2 x 2   d x

Agora, já estamos devidamente preparados para resolver essa integral. Então, vamos lá!

Passo 3

A primeira a gente resolver de forma direta né!

∫ 0 π 2 1 2 d x = 1 2 x

Na segunda temos que usar uma de nossas técnicas da integração! ∫ 0 π 2 1 2 . cos ⁡ 2 x d x

Vamos fazer uma substituição simples, onde:

u = 2 x

d u = 2 d x → d u 2 = d x

Fazendo a substituição, ficamos com

∫ cos ⁡ u d u = se n ⁡ u

Voltando de u para 2 x , temos que

∫ 0 π 2 1 2 . cos ⁡ 2 x d x = [ se n ⁡ 2 x ]

Agora vamos juntas as integrais e calcular o limite de integração

Passo 4

Então temos que,

∫ 0 π 2 1 2 - 1 2 . cos ⁡ 2 x d x = 1 2 x - se n ⁡ 2 x π 2 0

Substituindo,

= 1 2 π 2 - se n ⁡ 2 π 2 - 1 2 0 - se n ⁡ 2 0 = π 4

Fim!

Resposta

π 4

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