Calcule a integral abaixo:

42 –

∫ s e n   θ cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 2 d θ  

Passo 1

Primeiramente urilizaremos o método de substituição udu:

u = cos ⁡ θ

d u = - s e n   θ d θ

d θ = 1 d u = - 1 s e n   θ

Substituindo:

∫ s e n   θ u 2 + u - 2 ⋅ - 1 s e n θ d u = - ∫ 1 u 2 + u - 2 d u

u 2 + u - 2 = ( u + 2 ) ( u - 1 )

Assim:

- ∫ 1 ( u + 2 ) ( u - 1 ) d u

Resolvendo pelo método de frações parciais:

1 ( u + 2 ) ( u - 1 ) = A u + 2 + B u - 1

Resolvendo mmc:

1 u + 2 u - 1 = A u - 1 + B ( u + 2 ) ( u + 2 ) ( u - 1 )

Podemos cortar os denominadores, assim teremos:

1 = A u - 1 + B ( u + 2 )

Resolvendo a multiplicação:

1 = A u - A + B u + 2 B

Colocando em evidência:

1 = A + B u - A + 2 B

Assim:

A + B = 0

- A + 2 B = 1

Fazendo na primeira equação:

A = - B

Substituindo na segunda:

- - B + 2 B = 1 ; B + 2 B = 1 ; 3 B = 1 ; B = 1 3

Assim como: A = - B ; A = - 1 3 ; A = - 1 3

Assim:

1 ( u + 2 ) ( u - 1 ) = - 1 3 u + 2 + 1 3 u - 1

1 ( u + 2 ) ( u - 1 ) = - 1 3 u + 2 + 1 3 ( u - 1 )

Substituindo na integral:

∫ 1 3 - 1 u + 2 + 1 u - 1 d u

Passo 2

Separando as integrais:

1 3 ∫ - 1 u + 2 d u +   ∫ 1 u - 1 d u

Resoolvendo a primeira integral:

∫ - 1 u + 2 d u =   - 1 3 ln ⁡ u + 2

Resolvendo a segunda integral:

1 3 ln ⁡ u - 1

Passo 3

Juntando os resultados das integrais:

- 1 3 ln ⁡ u + 2 + 1 3 ln ⁡ u - 1

Juntando os resultados obtidos, para u = c o s   θ

- 1 3 ln ⁡ cos ⁡ θ + 2 + 1 3 ln ⁡ cos ⁡ θ - 1 + C = - 1 3 ln ⁡ cos ⁡ θ - 1 cos ⁡ θ + 2 + C

Resposta

- 1 3 ln ⁡ cos ⁡ θ - 1 cos ⁡ θ + 2 + C

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