Enunciado

14.24. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção e sentido em que isso ocorre.

f x , y , z = x 2 y 3 z 4 ,     ( 1 ,   1 ,   1 )

Passo 1

Para determinar a direção e o sentido onde a variação é máxima precisamos calcular ∇ f x , y , z

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z = 2 x y 3 z 4 i + 3 x 2 y 2 z 4 j + 4 x 2 y 3 z 3 k

Passo 2

A gente pode construir um vetor que aponta a direção e o sentido em que ocorre a maior variação, para isso só precisamos calcular a taxa de variação no ponto que o exercício dá

∇ f 1,1 , 1 = 2 ( 1 ) ( 1 ) 3 ( 1 ) 4 i + 3 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 4 j + 4 ( 1 ) 2 ( 1 ) 3 ( 1 ) 3 k

∇ f 1,1 , 1 = 2 i + 3 j + 4 k

Esse é o vetor que aponta na direção em que ocorre a maior variação.

Que bom que era tudo “1”, facilitou bastante as contas.

Passo 3

Agora falta pouco, só calcular a maior taxa de variação.

A maior taxa de variação vai ser

∇ f 1,1 , 1 = 2 2 + 3 2 + 4 2 = 29

Resposta

∇ f 1,1 , 1 = 2 i + 3 j + 4 k

∇ f 1,1 , 1 = 29

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