Enunciado

A latirude e a longitute de um ponto P no hemisfério norte estão relacionados às coordenadas esféricas ρ , θ , φ como se segue. Tomamos a origem como o centro da Terra e a orientação positiva do eixo z passa pelo pólo norte. A orientação positiva do eixo x passa pelo ponto onde o primeiro meridiano ( o meridiano de Greenwich, na Inglaterra) intercepta o equador. Assim a latitude P é α = 90 ° - φ ° e a longitude é β = 360 ° - θ ° . Determine a distância no grande círculo em Los Angeles (lat. 34,06° N, long 118,25° W) e Montreal (lat. 45,50° N, long. 73,60° W). Tome o raio da Terra como sendo 3,960 mi. (Um grande círculo é a circunferência obtida pela interseção da esfera que representa o globo terrestre com um plano que passa pelo centro da Terra.)

Passo 1

Neste problema queremos encontrar qual é a distância no grande circulo que corresponde a distância entre as cidades Los Angeles e Montreal.

Para começarmos vamos encontrar os dados referente as duas cidades.

Para Los Angeles temos:

ρ = 3960   m i

θ = 360 ° - 118,25 ° = 241,75 °

φ = 90 ° - 34,06 ° = 55,94 °

Para Montreal temos:

ρ = 3960   m i

θ = 360 ° - 73,60 ° = 2 86 , 40 °

φ = 90 ° - 45,50 ° = 44 , 50 °

Passo 2

Os dados que temos para as duas cidadades está em coordenadas esférica, podemos passar eles para coordenadas cartesianas. Para isso utilizamos que:

x = cos ⁡ θ s e n   φ

y = s e n   θ   s e n   φ

z = cos ⁡ φ

Onde obtemos:

L o s   A n g e l e s = x , y , z = 783.67 , - 2662.67 ,   2824.47

M o t r e a l = x , y , z = - 1552.80 , - 2889.91,22 1 7.84

Se calcularmos o produto escalar entre os vetores de cada cidade encontramos o ângulo α , que é o ângulo entre o vetor das duas cidades.

783.67 , - 2662.67 ,   2824.47 ∙ - 1552.80 , - 2889.91,22 1 7.84 = 783.67 , - 2662.67 ,   2824.47 ⋅ - 1552.80 , - 2889.91,22 1 7.84 cos ⁡ α

cos ⁡ α = 0,8126

α = 0,6223   r a d

Passo 3

Desta forma a distância de um circulo é dada por:

S = ρ α = 3960 ⋅ 0,6223 = 2464   m i

Resposta

A distância é:

S = 2464   m i

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