Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 28
14.28. Determine as direções e sentidos em que a derivada direcional de no ponto tem valor 1.
Passo 1
Bom sabemos que
Então vamos começar calculando
E precisamos também do que é um vetor unitário na direção de . Bem esse vetor pode ser construído da seguinte forma
Passo 2
O exercício nos dá os dados para o ponto , vamos usar então. Sabemos que
Então
A gente pode determinar o ângulo a partir do eixo x positivo, aí basta colocar o que a gente pegou em componentes, o eixo x é cosseno e o eixo y é seno. Então fica
Passo 3
Agora a gente tem que isolar o θ dessa equação
Vamos começar isolando o seno
Agora a gente eleva os dois lados ao quadrado
Agora a gente usa um truquezinho matemático, vamos usar a identidade trigonométrica
Agora a gente só tem cosseno na equação
Juntando os termos semelhantes
Agora a gente coloca um cosseno em evidência
Repare que pra essa equação fazer sentido a gente tem duas condições
O que vai nos dar que
Ou
O que implica
Isso nos dá que