Enunciado

14.20. Estipule a derivada direcional de d x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 em P ( 2,1 , 3 ) em direção à origem.

Passo 1

O modo mais simples de resolver esse exercício é usar a equação 14

D u f x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ u

Então vamos começar calculando

∇ f x , y , z

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z = 2 x i + 2 y j + 2 z k

E precisamos também do u que é um vetor unitário que está na mesma direção do vetor que vai do ponto P até à origem. Bem esse vetor pode ser construído da seguinte forma

u = P O → P O → = - 2 i - 1 j - 3 z ( - 2 ) 2 + ( - 1 ) 2 + ( - 3 ) 2 = 1 14 - 2 i + 1 j - 3 k

Passo 2

Agora é só colocar na equação

D u f 2 , 1 , 3 = ∇ f 2,1 , 3 ⋅ u

D u f 2,1 , 3 = 2 ( 2 ) i + 2 ( 1 ) j + 2 ( 3 ) k ⋅ 1 14 - 2 i + 1 j - 3 k

D u f 2,1 , 3 = 4 i + 2 j + 6 k ⋅ 1 14 - 2 i + 1 j - 3 k

Fazendo esse produto escalar

D u f 2,1 , 3 = - 28 14   = - 2 14  

E terminamos.

Resposta

D u f 2,1 , 3 = - 2 14  

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