Enunciado

14.15. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção e sentido do vetor v

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 ,     1 , 2 , - 2     v = < - 6 , 6 , - 3 >

Passo 1

O modo mais simples de resolver esse exercício é usar a equação 14

D u f x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ u

Então vamos começar calculando

∇ f x , y , z

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

= x x 2 + y 2 + z 2 i + x x 2 + y 2 + z 2 j + x x 2 + y 2 + z 2 k

E precisamos também do u que é um vetor unitário na direção de v . Bem esse vetor pode ser construído da seguinte forma

u = v v = - 6 i + 6 j - 3 z ( - 6 ) 2 + 6 2 + ( - 3 ) 2 = 1 9 - 6 i + 6 j - 3 k

u = - 2 3 i + 2 3 j - 1 3 k

Passo 2

Agora é só colocar na equação

D u f - 6,6 , - 3 = ∇ f - 6,6 , - 3 ⋅ u

D u f - 6,6 , - 3 =

- 6 ( - 6 ) 2 + 6 2 + ( - 3 ) 2 i + - 6 ( - 6 ) 2 + 6 2 + ( - 3 ) 2 j + - 6 ( - 6 ) 2 + 6 2 + ( - 3 ) 2 k ⋅ - 2 3 i + 2 3 j - 1 3 k

D u f - 6,6 , - 3 = 1 3 i + 2 3 j - 2 3 k ⋅ - 2 3 i + 2 3 j - 1 3 k

Fazendo esse produto escalar

D u f - 6,6 , - 3 = 4 9

E terminamos.

Resposta

D u f - 6,6 , - 3 = 4 9

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