Enunciado

14.31. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados

Exercício 43

Passo 1

A primeira coisa que a gente precisa fazer, é relembrar o exercício 42 da seção 7. O enunciado é esse:

“Determine o volume da maior caixa retangular com arestas paralelas aos eixos e que pode ser inscrita no elipsoide 9 x 2 + 36 y 2 + 4 z 2 = 36

Seguinte, a nossa restrição fica dessa forma

g x , y , z = 9 x 2 36 y 2 + 4 z 2 = 36

Agora para resolver com os multiplicadores de Lagrange precisamos conhecer f x , y , z , como estamos falando do volume de uma caixa retangular, com as arestas paralelas aos eixos, a função é a seguinte

f x , y , z = 8 x y z

Passo 2

Vamos calcular o divergente

∇ f = < ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z >  

∇ f = < 8 y z ,   8 x z ,   8 x y >

E também precisamos do divergente de g x , y

λ ∇ g = λ < ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z >  

λ ∇ g = < 18 λ x ,   72 λ y ,   8 λ z >

Vamos começar fazendo

∂ f ∂ x = λ ∂ g ∂ x

8 y z = 18 λ x   ,     ( 1 )  

∂ f ∂ y = λ ∂ g ∂ y

  8 x z = 72 λ y   ,     ( 2 )

∂ f ∂ z = λ ∂ g ∂ z

8 x y = 8 λ z ,     3

Agora a gente deixa uma variável livre e coloca as outras variáveis em função da variável livre, por exemplo, eu vou deixar y como uma variável livre e escrever x em função de y e z em função de y também.

Vamos pegar a equação (1)

8 y z = 18 λ x

E a equação (2)

8 x z = 72 λ y

E vamos fazer ( 2 ) / ( 1 )  

8 x z 8 y z = 72 λ y 18 λ x

Agora vamos fazer essas divisões

x y = 4 y x

Então

x 2 = 4 y 2

E agora vamos pegar a equação (3)

8 x y = 8 λ z

E fazer ( 2 ) / ( 3 )

8 x z 8 x y = 72 λ y 8 λ z

Fazendo essas divisões

z y = 9 y z

Então

z 2 = 9 y 2

Passo 3

Agora vamos usar a equação de restrição

9 x 2 + 36 y 2 + 4 z 2 = 36

Substituindo

9 4 y 2 + 36 y 2 + 4 9 y 2 = 36

Agora a gente consegue achar um valor para y , vamos colocar o y 2 em evidencia

y 2 36 + 36 + 36 = 36

y 2 3 ⋅ 36 = 36

Então

y 2 = 1 3

Logo

y = 1 3    

Agora podemos determinar as outras variáveis

x 2 = 4 y 2

x 2 = 4 1 3

Então

x = 4 3 = 2 3

E agora

z 2 = 9 y 2

z 2 = 9 1 3

Então

z = 9 3 = 3 3

Então agora podemos determinar o volume

V = f x , y , z = 8 x y z = 8 2 3 ⋅ 1 3 ⋅ 3 3 = 16 3

Resposta

V = 16 3

Ver Outros Exercícios desse livro