Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 19
14.19. Utilize o gráfico e/ou curvas de nível para estimar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Em seguida use o cálculo para achar esses valores precisamente.
Passo 1
Beleza, a primeira coisa que a gente tem que fazer é pegar o gráfico e as curvas de nível:
Agora olhando para esses gráficos, vamos ver os pontos críticos. A gente tem uma curva ali no ponto próximo à que parece ser um máximo local, e exatamente do outro lado, no ponto a gente pode ver uma curva mas com a concavidade invertida, que parece ser um ponto de mínimo.
A parte mais escura do gráfico mostra algo que parece um ponto de sela. Pelo segundo gráfico a gente vê que esse ponto de sela está em , cruzando isso no primeiro gráfico, os pontos de sela parecem ser e
Passo 2
A gente tem que determinar os pontos extremos da nossa função, e depois ver se são pontos de mínimo, de máximo ou um ponto de sela.
Para a gente fazer isso, a gente tem que trabalhar com as derivadas, acontece o seguinte, a gente deriva a função e iguala a derivada à 0, então nós teremos nosso ponto de interesse.
Vamos começar determinando nossas derivadas
Vamos derivar primeiro em relação à
E
Beleza, agora a gente já tem nossas derivadas, os pontos interessantes vão acontecer quando elas forem iguais à 0. Então
De a gente pode ver que para aquela equação ser ou ou , então ou .
Vamos substituir em
Então para temos ou , então já temos os pontos críticos
Já se parece com os que a gente estimou, mas vamos continuar, agora vamos substituir em
Então
Achamos mais dois pontos
Passo 3
Já temos nossos pontos de interesse, mas falta dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar
Podem ocorrer três casos:
- então é um mínimo local.
- então é um máximo local.
- então não é nem mínimo e nem máximo local.
Vamos calcular as segundas derivadas então
Agora derivamos isso em relação a
A outra derivada que precisamos é
Derivando em relação a
E a última derivada que precisamos é
ou
Vamos derivar isso em relação a
Então
Passo 4
Agora vamos verificar a natureza dos pontos críticos.
Vamos testar para o ponto
Então temos que analisar
Então é um ponto de máximo
E na função
Agora o ponto
Então temos que analisar
Então é um ponto de mínimo.
E na função
Agora o ponto
Então é um ponto de mínimo.
E na função
Pelas configurações de , todo está elevado à um número par, então vai dar a mesma coisa para o ponto .
Resposta
Os pontos de sela são
O ponto de mínimo é
O ponto de máximo é