Enunciado

14.19. Utilize o gráfico e/ou curvas de nível para estimar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Em seguida use o cálculo para achar esses valores precisamente.

f x , y = 3 x 2 y + y 3 - 3 x 2 - 3 y 2 + 2

Passo 1

Beleza, a primeira coisa que a gente tem que fazer é pegar o gráfico e as curvas de nível:

Agora olhando para esses gráficos, vamos ver os pontos críticos. A gente tem uma curva ali no ponto próximo à 0,0 que parece ser um máximo local, e exatamente do outro lado, no ponto 0,2 a gente pode ver uma curva mas com a concavidade invertida, que parece ser um ponto de mínimo.

A parte mais escura do gráfico mostra algo que parece um ponto de sela. Pelo segundo gráfico a gente vê que esse ponto de sela está em y = 1 , cruzando isso no primeiro gráfico, os pontos de sela parecem ser 1,1 e - 1,1

Passo 2

A gente tem que determinar os pontos extremos da nossa função, e depois ver se são pontos de mínimo, de máximo ou um ponto de sela.

Para a gente fazer isso, a gente tem que trabalhar com as derivadas, acontece o seguinte, a gente deriva a função e iguala a derivada à 0, então nós teremos nosso ponto de interesse.

Vamos começar determinando nossas derivadas

f x , y = 3 x 2 y + y 3 - 3 x 2 - 3 y 2 + 2

Vamos derivar primeiro em relação à x

f x = 6 x y - 6 x

E

f y = 3 x 2 + 3 y 2 - 6 y

Beleza, agora a gente já tem nossas derivadas, os pontos interessantes vão acontecer quando elas forem iguais à 0. Então

f x = 6 x y - 6 x = 6 x y - 1 = 0

f y = 3 x 2 + 3 y 2 - 6 y = 0

De f x a gente pode ver que para aquela equação ser 0 ou 6 x = 0 ou y - 1 = 0 , então x = 0 ou y = 1 .

Vamos substituir x = 0 em f y

3 0 2 + 3 y 2 - 6 y = 0

3 y 2 - 6 y = 0

Então para x = 0 temos y = 0 ou y = 2 , então já temos os pontos críticos

0,0   e   0,2

Já se parece com os que a gente estimou, mas vamos continuar, agora vamos substituir y = 1 em f y

3 x 2 + 3 1 2 - 6 1 = 0

3 x 2 + 3 - 6 = 0

3 x 2 = 3

x 2 = 1

Então

x = ± 1

Achamos mais dois pontos

1,1   e   1 , - 1

Passo 3

Já temos nossos pontos de interesse, mas falta dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar

D x , y = f x x ⋅ f x y - f x y 2

Podem ocorrer três casos:

  1. D ( a , b ) > 0   e   f x x a , b > 0 então f ( a , b ) é um mínimo local.
  2. D a , b > 0   e   f x x a , b < 0 então f ( a , b ) é um máximo local.
  3. D a , b < 0   então f ( a , b ) não é nem mínimo e nem máximo local.

Vamos calcular as segundas derivadas então

f x x = ∂ f x ∂ x

f x = 6 x y - 6 x

Agora derivamos isso em relação a x

f x x = ∂ 6 x y - 6 x ∂ x = 6 y - 6

A outra derivada que precisamos é

f y y = ∂ f y ∂ y

f y = 3 x 2 + 3 y 2 - 6 y

Derivando em relação a y

f y y = ∂ 3 x 2 + 3 y 2 - 6 y ∂ y = 6 y - 6

E a última derivada que precisamos é

f x y = ∂ f x ∂ y

ou f x y = ∂ f y ∂ x

f x = 6 x y - 6 x

Vamos derivar isso em relação a y

f x y = ∂ 6 x y - 6 x ∂ y = 6 x

Então

D x , y = 6 y - 6 ⋅ 6 y - 6 - 6 x 2

D x , y = 6 y - 6 2 - 6 x 2

Passo 4

Agora vamos verificar a natureza dos pontos críticos.

Vamos testar para o ponto 0,0

D 0,0 = 6 ( 0 ) - 6 2 - 6 0 2

D 0 , 0 = 36 > 0

Então temos que analisar f x x 0,0

f x x 0,0 = 6 0 - 6 = - 6 < 0

Então é um ponto de máximo

E na função

f 0,0   = 2

Agora o ponto 0 , 2

D 0 , 2 = 6 ( 2 ) - 6 2 - 6 0 2

D 0 , 2 = 36 > 0

Então temos que analisar f x x 0 , 2

f x x 0 , 2 = 6 2 - 6 = 6 > 0

Então é um ponto de mínimo.

E na função

f 0,2 = 2 3 - 3 2 2 + 2 = - 2

Agora o ponto 1,1

D 1,1 = 6 ( 1 ) - 6 2 - 6 1 2

D 1,1 = - 36 < 0

Então é um ponto de mínimo.

E na função

f 1,1 = 3 + 1 - 3 - 3 + 2 = 0

Pelas configurações de D , todo x está elevado à um número par, então vai dar a mesma coisa para o ponto - 1 , 1 .

Resposta

Os pontos de sela são

( ± 1 , 1 )

O ponto de mínimo é

0 ,   2

O ponto de máximo é

( 0 , 2 )

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