Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 51
14.51. Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser L, qual é o maior volume possível?
Passo 1
Então sabemos que o volume da caixa é dado por
Então
Mas queremos maximizar as variáveis , e então vamos maximizar
Mas não podemos ter em então vamos colocar como uma função de e
Então
Então vamos maximizar
Passo 2
A gente tem que achar os pontos de máximo nessa função.
Para a gente fazer isso, a gente tem que trabalhar com as derivadas, acontece o seguinte, a gente deriva a função e iguala a derivada à 0, então nós teremos nosso ponto de interesse.
Vamos começar determinando nossas derivadas
Vamos derivar primeiro em relação à . Para isso vamos usar a regra do produto. . A regra do produto é a seguinte:
Para ficar mais fácil vamos fazer o seguinte
Vamos fazer
Então
E
Então
Agora a gente pode fazer a derivada
Simplificando
Agora a gente faz a derivada em relação a , e vamos usar a mesma estratégia, regra do produto
Vamos fazer
Então
E
Então
Logo
Simplificando
Passo 3
Agora vamos igualar as derivadas à 0.
De podemos tirar que
Então
Logo
Agora vamos fazer isso em , onde só precisamos que , então
Então
Logo
Então podemos fazer substituir
Agora podemos achar
Então
Agora vamos descobrir
Então
Passo 4
Agora nós temos o par de ponto então podemos achar o ponto
Agora podemos achar o volume