Enunciado

14.32. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados

Exercício 44

Passo 1

A primeira coisa que a gente precisa fazer, é relembrar o exercício 42 da seção 7. O enunciado é esse:

“Resolva o problema do Exercício 43 para um elipsoide genérico x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Nossa! Agora precisamos relembrar o exercício 43.

“Determine o volume da maior caixa retangular com arestas paralelas aos eixos e que pode ser inscrita no elipsoide 9 x 2 + 36 y 2 + 4 z 2 = 36

Seguinte, a nossa restrição fica dessa forma

g x , y , z = x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

A gente também pode colocar da seguinte forma

g x , y , z = b 2 c 2 x 2 + a 2 c 2 y 2 + a 2 b 2 z 2 = a 2 b 2 c 2

Agora para resolver com os multiplicadores de Lagrange precisamos conhecer f x , y , z , como estamos falando do volume de uma caixa retangular, com as arestas paralelas aos eixos, a função é a seguinte

f x , y , z = 8 x y z

Passo 2

Vamos calcular o divergente

∇ f = < ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z >  

∇ f = < 8 y z ,   8 x z ,   8 x y >

E também precisamos do divergente de g x , y

λ ∇ g = λ < ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z >  

λ ∇ g = < 2 λ b 2 c 2 x ,   2 λ a 2 c 2 y ,   2 λ a 2 b 2 z >

Vamos começar fazendo

∂ f ∂ x = λ ∂ g ∂ x

8 y z = 2 λ b 2 c 2 x   ,     ( 1 )  

∂ f ∂ y = λ ∂ g ∂ y

  8 x z = 2 λ a 2 c 2 y   ,     ( 2 )

∂ f ∂ z = λ ∂ g ∂ z

8 x y =   2 λ a 2 b 2 z ,     3

Agora a gente deixa uma variável livre e coloca as outras variáveis em função da variável livre, por exemplo, eu vou deixar y como uma variável livre e escrever x em função de y e z em função de y também.

Vamos pegar a equação (1)

8 y z = 2 λ b 2 c 2 x

E a equação (2)

8 x z = 2 λ a 2 c 2 y  

E vamos fazer ( 1 ) / ( 2 )  

8 y z 8 x z = 2 λ b 2 c 2 x 2 λ a 2 c 2 y

Agora vamos fazer essas divisões

y x = b 2 a 2 x y

Então

y 2 = b 2 a 2 x 2

Logo

x = a y b

E agora vamos pegar a equação (3)

8 x y =   2 λ a 2 b 2 z

E fazer ( 3 ) / ( 2 )

8 x y 8 x z = 2 λ a 2 b 2 z 2 λ a 2 c 2 y

Fazendo essas divisões

y z = b 2 c 2 z y

Então

y 2 = b 2 c 2 z 2

Logo

z = c b y

Passo 3

Agora vamos usar a equação de restrição

b 2 c 2 x 2 + a 2 c 2 y 2 + a 2 b 2 z 2 = a 2 b 2 c 2

Substituindo

b 2 c 2 a y b 2 + a 2 c 2 y 2 + a 2 b 2 c b y 2 = a 2 b 2 c 2

Agora a gente consegue achar um valor para y , vamos colocar o y 2 em evidencia

y 2 b 2 c 2 a 2 b 2 + a 2 c 2 + a 2 b 2 c 2 b 2 = a 2 b 2 c 2

y 2 a 2 c 2 + a 2 c 2 + a 2 c 2 = a 2 b 2 c 2

Então

y 2 = a 2 b 2 c 2 3 a 2 c 2

Logo

y 2 = b 2 3

y = b 3    

Agora podemos determinar as outras variáveis

x = a y b

x = a b b 3

Então

x = a 3

E agora

z = c b y

z = c b b 3

Então

z = c 3

Então agora podemos determinar o volume

V = f x , y , z = 8 x y z = 8 a 3 ⋅ b 3 ⋅ c 3 = 8 3 3

Resposta

V = 8 3 3

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