Enunciado

14.26. Utilize um dispositivo gráfico como no Exemplo 4 (ou Método de Newton ou um determinador de raízes) para estabelecer os pontos de f com arredondamento na terceira casa decimal. Em seguida classifique o ponto crítico e determine o valor mais alto e o mais baixo do gráfico.

f x , y = e x + y 4 - x 3 + 4 cos ⁡ y

Passo 1

Beleza, a primeira coisa que a gente tem que fazer é ver o gráfico

Agora vamos ver mais dois gráficos, os gráficos das derivadas

f x = ∂ f ∂ x = e x - 3 x 2

Vamos ver mais ou menos onde f x = 0 , que vai ser quando a curva cruza o eixo das coordenadas. Vai ser mais ou menos

x ≈ - 0,459 ; 0,910 ; 3,733

E agora o gráfico de f y

f y = 4 y 3 - 4 sin ⁡ y

Vamos usar o mesmo esquema

y ≈ - 0,929 ; 0 ; 0,929

Esses são os pontos críticos então.

Passo 2

Se a gente usar uma calculadora ou algum outro programa para igualar as derivadas à 0, acharemos os pontos:

- 0.459 ,   0 ; 0.910 ,   0 ; 0.910 ,   0.929 ;   0.910 ,   - 0.929

3.733,0 ; 3.733 ,   0.929 ; ( 3.733 , - 9.929 )

Passo 3

Já temos nossos pontos de interesse, mas falta dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar

D x , y = f x x ⋅ f x y - f x y 2

Podem ocorrer três casos:

  1. D ( a , b ) > 0   e   f x x a , b > 0 então f ( a , b ) é um mínimo local.
  2. D a , b > 0   e   f x x a , b < 0 então f ( a , b ) é um máximo local.
  3. D a , b < 0   então f ( a , b ) não é nem mínimo e nem máximo local.

Vamos calcular as segundas derivadas então

f x x = ∂ f x ∂ x

f x = e x - 3 x 2

Agora derivamos isso em relação a x

f x x = ∂ e x - 3 x 2 ∂ x = e x - 6 x

A outra derivada que precisamos é

f y y = ∂ f y ∂ y

f y = 4 y 3 - 4 sin ⁡ y

Derivando em relação a y

f y y = ∂ 4 y 3 - 4 sin ⁡ y ∂ y = 12 y 2 - 4 cos ⁡ y

E a última derivada que precisamos é

f x y = ∂ f x ∂ y

ou f x y = ∂ f y ∂ x

f x = e x - 3 x 2

Vamos derivar isso em relação a y

f x y = ∂ e x - 3 x 2 ∂ y = 0

Então

D x , y = e x - 6 x ⋅ 12 y 2 - 4 cos ⁡ y - 0 2

Passo 4

Agora vamos verificar a natureza dos pontos críticos.

Vamos testar para o ponto −0.459, 0

D - 0.459 ,   0 = - 13 . 55 < 0

Então é um ponto de sela.

Agora o ponto −0.459, 0.929

D - 0.459 ,   0 . 929 = e - 0.459 - 6 - 0.459 ⋅ 12 0 - 4 cos ⁡ 0

D - 0.459 ,   0 . 929 = 29 . 65 > 0

Vamos checar f x x

f x x = e - 0.459 - 6 - 0.459 = 3 . 38 > 0

Então é um ponto de mínimo.

Agora o ponto −0.459, −0.929

D - 0.459 , -   0.929 = - 45.85 < 0

Então é um ponto de sela.

Agora o ponto 0.910 ,   0 .

D 0.910 ,   0 = 11,9 > 0

Vamos checar f x x

f x x = e 0.910 - 6 0.910 = 5.46 > 0

Então é um ponto de mínimo.

Agora o ponto 0.910, 0.929

D 0.910 ,   0 . 929 = - 26.05 < 0

Então é um ponto de sela.

Agora o ponto 0.910 ,   - 0.929

D 0.910 , - 0.929 = 40.30 > 0

Vamos checar f x x

f x x = e 0.910 - 6 0.910 = 5.46 > 0

Então é um ponto de mínimo.

Agora o ponto 3.733, 0

D 3.733 ,   0 = - 77.62 < 0

Então é um ponto de sela.

Agora o ponto 3.733 ,   0.929

D 3.733 ,   0.929 = 169,87 > 0

Vamos checar f x x

f x x = e 3.733 - 6 3.733 = 19.4 > 0

Então é um ponto de mínimo.

Agora o ponto 3.733 ,   - 0.929

D 3.733 ,   - 0.929 = - 262,81 < 0

Então é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos de sela são

- 0.459 ,   0 ;   - 0.459 ,   - 0.929 ; 0.910 ,   0.929 ; 3.733 ,   0 ;   3.733 ,   - 0.929

Os pontos de mínimos são

- 0.459 ,   0.929 ; 0.910 ,   0 ; 0.910 ,   - 0.929 ; 3.733 ,   0.929

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