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14.39. Determine os pontos da superfície z 2 = x y + 1 que estão mais próximos da origem.

Passo 1

Vamos começar manipulando um pouquinho nossa equação, vamos somar x 2 + y 2 na equação

x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + x y + 1

Isso é o mesmo que

d 2 = x 2 + y 2 + x y + 1

Agora a gente tem uma função para a distância da origem.

Agora sim a gente pode fazer as derivadas parciais

f x = 2 x + y

E

f y = 2 y + x

Passo 2

Agora a gente pode achar os pontos críticos, fazendo

f x = f y = 0

Então

2 x + y = 0

2 y + x = 0

Da primeira equação temos que

2 x = - y

x = - y 2

Substituindo na outra equação

2 y + - y 2 = 0

2 y - y 2 = 0

y 2 - 1 2 = 0

O único resultado possível é y = 0 .

Então

2 x = - y

2 x = 0

Logo x = 0 .

Assim o nosso ponto crítico é ( 0,0 )

Passo 3

Já temos nossos pontos de interesse, mas falta dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar

D x , y = f x x ⋅ f x y - f x y 2

Podem ocorrer três casos:

  1. D ( a , b ) > 0   e   f x x a , b > 0 então f ( a , b ) é um mínimo local.
  2. D a , b > 0   e   f x x a , b < 0 então f ( a , b ) é um máximo local.
  3. D a , b < 0   então f ( a , b ) não é nem mínimo e nem máximo local.

Vamos calcular as segundas derivadas então

f x x = ∂ f x ∂ x

f x = 2 x + y

Só o termo 2 x depende de x , então

f x x = ∂ 2 x ∂ x = 2

A outra derivada que precisamos é

f y y = ∂ f y ∂ y

f y = 2 y + x

Só o termo 2 y depende de y , então

f y y = ∂ 2 y ∂ y = 2

E a última derivada que precisamos é

f x y = ∂ f x ∂ y

ou f x y = ∂ f y ∂ x

f x = 2 x + y

Vamos derivar isso em relação a y

f x y = ∂ 2 x + y ∂ y = 1

Então

D x , y = 2 ⋅ 2 - 1 2

Isso é igual

D x , y = 4 - 1 = 3 > 0

Então para qualquer ponto D x , y > 0

Mas ainda precisamos de mais uma informação, f x 0,0

f x 0,0 = 2

f x 0,0 > 0

Então esse ponto é de mínimo.

Substituindo esse ponto na equação de superfície z 2 = x y + 1 chegamos em

z 2 = 1

O que nos leva à z = ± 1

Então os pontos que estão mais próximos da origem são

( 0,0 , ± 1 )

Resposta

( 0,0 , ± 1 )

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