Enunciado

Determine o volume da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces nos planos coordenados e com um vértice no plano x + 2 y + 3 z = 6   .

Passo 1

Pessoal, podemos escrever a função volume da caixa assim:

V = x y z   ,           s e n d o   x ,   y ,   z > 0

Mas podemos escrever z = 6 - x - 2 y 3 por causa da equação do plano:

V = x y 6 - x - 2 y 3

V = 6 x y - x 2 y - 2 x y 2 3

Passo 2

Show! Agora precisamos maximizar a função volume. Vamos determinar as derivadas parciais:

f x = 6 y - 2 x y - 2 y 2 3  

f y = 6 x - x 2 - 4 x y 3

Para termos f x = 0 e f y = 0 simultaneamente, com x ,   y ≠ 0 :

3 - x - y = 0 ⇒ x = 3 - y

6 - x - 4 y = 0 ⇒ x = 6 - 4 y

Passo 3

A partir das duas equações encontradas anteriormente, temos:

x = 3 - y = 6 - 4 y

y = 1

Agora substituímos esse valor de y na expressão de x :

x = 3 - y = 3 - 1 = 2

Passo 4

Como o único ponto crítico encontrado foi 2 ,   1 , podemos considerar que esse é o ponto que maximiza a função V . Agora só falta substituir os valores de x e y na função para encontrar o volume máximo:

V = 6   .   2   .   1 - 2 2   .   1 - 2   .   2   .   1 2 3 = 4 3

Resposta

4 3

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