Enunciado

Um prédio retangular está sendo projetado para minimizar a perda de calor. As paredes leste e oeste perdem calor a uma taxa de 10 u n i d a d e s m 2 por dia, as paredes norte e sul, a uma taxa de 8 u n i d a d e s m 2 por dia, o piso, a uma taxa de 1 u n i d a d e m 2 por dia e o teto, a uma taxa de 5 u n i d a d e s m 2 por dia. Cada parede deve ter pelo menos 30   m de comprimento, a altura deve ser no mínimo 4   m , e o volume, exatamente 4000   m 3 .

  1. Determine e esboce o domínio da perda de calor como uma função dos comprimentos dos lados.
  2. Encontre as dimensões que minimizam a perda de calor. (Analise tanto os pontos críticos como os pontos sobre a fronteira do domínio.)
  3. Você poderia projetar um prédio com precisamente menos perda de calor ainda se as restrições sobre os comprimentos das paredes fossem removidas?

Passo 1

Primeiro vamos escrever uma equação para o calor perdido, olha só:

Q x , y , z = 10 ⋅ 2 y z + 8 ⋅ 2 x z + x y + 5 ⋅ x y

Assim,

Q x , y , z = 6 x y + 16 x z + 20 y z

Agora vamos ver como fica o volume:

V = x y z

Mas a gente também sabe que V = 4000   m 3 . Assim,

x y z = 4000 → z = 4000 x y

Substituindo na equação de cima temos:

Q x , y = 6 x y + 80000 x + 64000 y

Passo 2

a) O enunciado nos disse que a altura que a altura deve ser maior que 4. Logo,

z = 4000 x y ≥ 4

Então,

x y ≤ 1000 → y ≤ 1000 x

Como cada parede deve ter pelo menos 30   m de comprimento:

x ≥ 30 e y ≥ 30

Logo,

D = x , y   /     x ≥ 30 ,   30 ≤ y ≤ 1000 x

Passo 3

b) Como queremos saber as dimensões que minimizar a perda de calor, a ideia vai ser achar Q x , Q y e igualar a zero para achar os pontos críticos. Em seguida, ver os pontos de mínimo.

Q x , y = 6 x y + 80000 x - 1 + 64000 y - 1

Derivando em relação a x :

Q x = 6 y - 80000 x - 2

Em relação a y :

Q y = 6 x - 64000 y - 2

Igualando a Q x a zero:

6 y - 80000 x - 2 = 0

Logo,

6 x 2 y = 80000 → y = 80000 6 x 2     ( i )

Fazendo o mesmo com Q y :

6 x - 64000 y - 2 = 0

Usando a relação ( i ) :

6 x = 64000 6 x 2 80000 2

Fazendo as contas, temos:

x = 10 50 3 3

Portanto,

y = 80 60 3

Assim, o único ponto crítico de h seria 10 50 3 3 , 80 60 3 , porém este não pertence a D .

Passo 4

Como o ponto crítico não pertence a D , vamos olhar a fronteira de D . Analisando   L 1 , L 2 , L 3 :

Em L 1 : y = 30

Q x , 30 = 180 x + 80000 x + 6400 3 ,     30 ≤ x ≤ 100 3

Derivando,

Q ' x , 30 = 180 - 80000 x 2

Como 30 ≤ x ≤ 100 3 , nossa função Q ' ( x , 30 ) é crescente nesse intervalo e possuirá seu ponto de mínimo quando x = 30 e máximo em x = 100 3 . Calculando o Q nesses pontos, temos:

Q 30,30 = 10200 e Q 100 3 , 30 ≈ 10533 .

Em L 2 : y = 1000 x

  Q x , 1000 x = 6000 + 64 x + 80000 x ,     30 ≤ x ≤ 100 3 .

Derivando,

Q ' x , 1000 x = 64 - 80000 x 2

No intervalo 30 ≤ x ≤ 100 3 nossa função Q ' ( x , 100 x ) é decrescente e possuirá ponto de mínimo em x = 100 3 e máximo em x = 30 . Assim,

h ( 100 3 , 30 ) ≈ 10533 e   h 30 , 100 3 ≈ 10587 .

Em L 3 : x = 30 ,  

Q 30 , y = 180 y + 64000 y + 80000 3 ,     30 ≤ y ≤ 100 3 .

Derivando,

Q ' 30 , y = 180 - 64000 y 2

No intervalo 30 ≤ y ≤ 100 3   Q ' será positivo e, assim, Q será crescente de y com ponto de mínimo em x = 30   e máximo em x = 100 3 .

Q 30,30 = 10200 e Q 30 , 100 3 ≈ 10587 .

Logo, o mínimo absoluto de   Q será:

Q 30,30 = 10200

Então, as dimensões do muro ficam o seguinte:

x = 30 m e y = 30 m

Como z = 4000 x y :

z = 4000 30 2

Logo,

z = 4,44   m

Passo 5

c) Pelo item (b) vemos que o único ponto crítico de q era 10 50 3 3 , 80 60 3 . Como z = 4000 x y :

z = 4000 25,54 20,43 ≈ 7,67 m .

Portanto,

x = 25,54   m , y = 20,43 m e z = 7,67   m

Resposta

  1. D = x , y   /     x ≥ 30 ,   30 ≤ y ≤ 1000 x
  2. O mínimo absoluto de   h é h 30,30 = 10200 e as dimensões dos muros são x = 30   m , y = 30   m e z = 4,44   m
  3. x = 25,54   m , y = 20,43 m e z = 7,67   m
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.f) f x , y = x 2 + 2 x y + y 2 e x + 2 y - 1 = 0
Determine o ponto da parábola y = x 2 mais próximo de ( 14 , 1 )
Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.j) f x , y = x 3 + y 3 - 3 x - 3 y e x + 2 y - 3
Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.g) f x , y = x 2 - 2 x y + y 2 e x 2 + y 2 = 1
Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.c) f x , y = x 2 - 2 x y + 3 y 2 e x 2 + y 2 - 1