Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 54
Um prédio retangular está sendo projetado para minimizar a perda de calor. As paredes leste e oeste perdem calor a uma taxa de por dia, as paredes norte e sul, a uma taxa de por dia, o piso, a uma taxa de por dia e o teto, a uma taxa de por dia. Cada parede deve ter pelo menos de comprimento, a altura deve ser no mínimo , e o volume, exatamente .
- Determine e esboce o domínio da perda de calor como uma função dos comprimentos dos lados.
- Encontre as dimensões que minimizam a perda de calor. (Analise tanto os pontos críticos como os pontos sobre a fronteira do domínio.)
- Você poderia projetar um prédio com precisamente menos perda de calor ainda se as restrições sobre os comprimentos das paredes fossem removidas?
Passo 1
Primeiro vamos escrever uma equação para o calor perdido, olha só:
Assim,
Agora vamos ver como fica o volume:
Mas a gente também sabe que . Assim,
Substituindo na equação de cima temos:
Passo 2
a) O enunciado nos disse que a altura que a altura deve ser maior que 4. Logo,
Então,
Como cada parede deve ter pelo menos de comprimento:
e
Logo,
Passo 3
b) Como queremos saber as dimensões que minimizar a perda de calor, a ideia vai ser achar , e igualar a zero para achar os pontos críticos. Em seguida, ver os pontos de mínimo.
Derivando em relação a :
Em relação a :
Igualando a a zero:
Logo,
Fazendo o mesmo com :
Usando a relação :
Fazendo as contas, temos:
Portanto,
Assim, o único ponto crítico de seria , porém este não pertence a
Passo 4
Como o ponto crítico não pertence a , vamos olhar a fronteira de . Analisando:
Em
Derivando,
Como , nossa função é crescente nesse intervalo e possuirá seu ponto de mínimo quando e máximo em . Calculando o nesses pontos, temos:
e
Em :
Derivando,
No intervalo nossa função é decrescente e possuirá ponto de mínimo em e máximo em . Assim,
e
Em
Derivando,
No intervalo será positivo e, assim, será crescente de com ponto de mínimo em e máximo em .
e
Logo, o mínimo absoluto de será:
Então, as dimensões do muro ficam o seguinte:
e
Como :
Logo,
Passo 5
c) Pelo item (b) vemos que o único ponto crítico de era . Como :
Portanto,
, e
Resposta
- O mínimo absoluto de é e as dimensões dos muros são , e
- , e