Enunciado

15.5. Calcule a integral iterada.

int_0^2 int_0^((pi)/(2)) x sin y d x d y

Passo 1

Vamos lá, temos que resolver a integral

int_0^2 int_0^((pi)/(2)) x sin y d x d y

Essa integral é interessante, pois ela é da seguinte forma

int int f (x , y) d x d y = int int g (x) h (y) d x d y

Onde

g (x) = x

E

h (y) = sin y

As funções desse tipo (produto entre duas funções de variáveis diferentes) têm uma propriedade interessantíssima para gente que facilita bastante a resolver, é o seguinte

int int g (x) h (y) d x d y = int g (x) d x int h (y) d y

Então vamos reescrever a integral que a gente quer resolver

int_0^2 int_0^((pi)/(2)) x sin y d x d y = int_0^2 x d x int_0^((pi)/(2)) sin y d y

Fica bem mais fácil resolver assim.

Passo 2

Vamos resolver as integrais separadamente agora, começando por

int_0^2 x d x

Vamos lá

int_0^2 x d x = [(x^2)/(2)]_0^2

Substituindo os limites

[(x^2)/(2)] = (2^2)/(2) - (0^2)/(2) = 2

E a outra integral

int_0^((pi)/(2)) sin y d y

Lembrando que a integral de seno é cosseno negativo

int_0^((pi)/(2)) sin y d y = [- cos y]_0^((pi)/(2))

Agora só colocar os limites

[- cos y]_0^((pi)/(2)) = - (cos (pi)/(2) - cos 0) = 1

Passo 3

Agora podemos resolvera integral principal

int_0^2 int_0^((pi)/(2)) x sin y d x d y = int_0^2 x d x int_0^((pi)/(2)) sin y d y

int_0^2 int_0^((pi)/(2)) x sin y d x d y = 2 * 1 = 2

Resposta

int_0^2 int_0^((pi)/(2)) x sin y d x d y = 2

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Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 4 - x - 2 y ) d xd y
Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide hiperbólico z = 4 + x 2 - y 2 e acima do quadrado R = - 1 ,1 × 0 ,2 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 2 - x 2 - y 2 ) d yd x
Encontre o volume do sólido delimitado pelo paraboloide z = 2 + x 2 + y - 2 2 e pelos planos z = 1, x = 1, x = - 1, y = 0 e y = 4 .
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3 x + 2 y + z = 12 e acima do retângulo R = x ,y0 ≤ x ≤ 1,- 2 ≤ y ≤ 3 }