Enunciado

15.6. Calcule a integral iterada.

int_1^4 int_0^2 (x + sqrt(y)) d x d y

Passo 1

Vamos lá, temos que resolver a integral

int_1^4 int_0^2 (x + sqrt(y)) d x d y

Uma integral dupla. A gente tem que integrar primeiro em x e depois em y , porque d x vem antes que vem antes que d y . É a mesma coisa que

int_1^4 (int_0^2 (x + sqrt(y)) d x) d y

Passo 2

Então a gente pode resolver separadamente, começando por

int_0^2 (x + sqrt(y)) d x

Lembrando que a integral da soma é a soma das integrais, então

int_0^2 (x + sqrt(y)) d x = int_0^2 x d x + int_0^2 sqrt(y) d x

Agora está mais fácil de resolver

int_0^2 x d x = [(x^2)/(2)]_0^2

Substituindo os limites

[(x^2)/(2)]_0^2 = (2^2)/(2) - (0^2)/(2) = (4)/(2) = 2

Agora vamos resolver

int_0^2 sqrt(y) d x

Como estamos integrando em relação a x , y é constante, logo sqrt(y) também é constante, então

int_0^2 sqrt(y) d x = [sqrt(y) * x]_0^2

Substituindo os limites

[sqrt(y) * x]_0^2 = sqrt(y) * 2 - sqrt(y) * 0 = 2 sqrt(y)

Então

int_0^2 (x + sqrt(y)) d x = int_0^2 x d x + int_0^2 sqrt(y) d x

int_0^2 (x + sqrt(y)) d x = 2 + 2 sqrt(y)

Passo 3

Beleza, calculamos

int_0^2 (x + sqrt(y)) d x

Então nossa integral fica

int_1^4 (int_0^2 (x + sqrt(y)) d x) d y

int_1^4 (2 + 2 sqrt(y)) d y

E agora podemos integrar em y .

De novo temos uma soma dentro da integral

int_1^4 (2 + 2 sqrt(y)) d y = int_1^4 2 d y + int_1^4 2 sqrt(y) d y

Vamos resolver a primeira integral

int_1^4 2 d y

2 é uma constante, então

int_1^4 2 d y = [2 y]_1^4

Nos limites

[2 y]_1^4 = 2 * 4 - 2 * 1 = 6

E a outra integral

int_1^4 2 sqrt(y) d y

Talvez fique mais fácil resolver se a gente escrever assim

int_1^4 2 y^((1)/(2)) d y

Agora a gente faz aquela regra de somar 1 ao expoente e passar o expoente resultante dividindo.

int_1^4 2 y^((1)/(2)) d y = [2 * (2)/(3) * y^((3)/(2))]_1^4

Então

[2 * (2)/(3) * y^((3)/(2))]_1^4 = 2 * (2)/(3) * 4^((3)/(2)) - 2 * (2)/(3) * 1^((3)/(2)) = (32)/(3) - (4)/(3) = (28)/(3)

Agora sabemos que

int_1^4 (2 + 2 sqrt(y)) d y = int_1^4 2 d y + int_1^4 2 sqrt(y) d y

int_1^4 (2 + 2 sqrt(y)) d y = 6 + (28)/(3) = (46)/(3)

Ou seja

int_1^4 int_0^2 (x + sqrt(y)) d x d y = (46)/(3)

Resposta

int_1^4 int_0^2 (x + sqrt(y)) d x d y = (46)/(3)

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