Enunciado

16. Um homem com 1,80 m de altura caminha em direção a um edifício, com uma velocidade de 1,5 m/s. Se existe um ponto de luz no chão a 15 m do edifício, com que velocidade a sombra do homem estará diminuindo, quando ele estiver a 9 m do edifício?

Passo 1

Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

  1. Leia cuidadosamente o problema.
  2. Se possível, faça um diagrama.
  3. Identificar as variáveis e as constantes do problema.
  4. Escreva uma equação que relacione as variáveis.
  5. Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
  6. Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

Imagine a situação e faça um diagrama:

Variáveis:

x-Distância do homem ao edifício.

y- Tamanho da sombra.

t- tempo

Passo 2

Como queremos a velocidade em que a sombra está diminuindo, queremos a taxa de variação de y (falou em velocidade e taxa de variação lembre-se de derivadas), e para isso precisamos encontrar uma expressão que relacione y. Então, por semelhança de triângulos (observe a figura), temos:

y 1 5 = 1,8 15 - x ⇒ y ⋅ 15 - x = 15 ⋅ 1,8 ⇒ 15 y - x y = 27

15 y - x y = 27

Passo 3

Agora que temos a equação que relaciona nossas variáveis. Vamos derivar implicitamente em relação a t, ou seja, vamos derivar em ambos os lados da igualdade em relação a t (pois estamos falando de velocidade). Usando a regra do produto, temos:

15 y - x y = 27 ⇒ 15 ⋅ d y d t - d x d t ⋅ y + x ⋅ d y d t = 0

⇒ 15 ⋅ d y d t - d x d t ⋅ y - x ⋅ d y d t = 0 ⇒ 15 ⋅ d y d t - x ⋅ d y d t = d x d t ⋅ y

⇒ d y d t ⋅ 15 - x = d x d t ⋅ y ⇒ d y d t = d x d t ⋅ y 15 - x

d y d t = d x d t ⋅ y 15 - x

Passo 4

Antes de substituir os valores, precisamos saber o valor de y quando x = 9 . Para isso basta voltarmos à equação 15 y - x y = 27 e substituir o valor de x. Assim, para x = 9 , temos:

15 y - 9 y = 27 ⇒ 6 y = 27 ⇒ y = 27 6 = 9 2 m

Passo 5

Como x está se referindo à posição, d x d t será a velocidade, que é de 1,5   m / s . Assim, d x d t = 1,5   m / s , ou d x d t = 3 2   m / s .E como queremos a velocidade da sombra quando o homem estiver a 9 m do edifício y = 9 2 m .

Substituindo na equação: d y d t = d x d t ⋅ y 15 - x

Temos:

d y d t = 3 2 ⋅ 9 2 15 - 9 = 27 4 6 = 27 24 = 9 8 m / s

Logo, a velocidade de crescimento da sombra é de 9 8 m / s .

Resposta

9 8 m / s

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