Enunciado

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37. No exercio 36, se o nível de água estiver decrescendo a uma taxa de 25cm/min quando a profundidade é de 3m, com que velocidade a água está sainda da tina?

Passo 1

Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

  1. Leia cuidadosamente o problema.
  2. Se possível, faça um diagrama.
  3. Indentificar as variáveis e as constantes do problema.
  4. Escreva uma equação que relacione as variáveis.
  5. Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
  6. Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

Se liga na ilustração do que a questão disse:

Primeiro, tina é esse recibiente ai onde coloca água.

Vamos anotar as variáveis desse problema:

C - o comprimento da tina.

b - base menor da face trapezoidal da tina.

B -   Base maior da face trapezoidal da tina.

h- altura da face trapezoidal da tina.

A questão nos deu:

C=16

h =4

b=4

B =6

d h a d t = 25

E nos pede para entramos a taxa da altura da água, d V D t , quando h for igual a 3.

Passo 2

Iremos usar a fórmula do volume para resolver essa questão, lembrando que o volume de um sólido é dado pela área da base(no nosso caso a parte trapezoidal) vezes o comprimento.

V a = A b . C

V = B a + b ⋅ h a 2 . C

Temos duas variáveis aqui, B a   e   h a , mas não temos nenhuma informação de B a , então, teremos que reescrever está variável em função de outras variáveis.

Na imagem mostrada é possível usar semelhança de triângulos:

b a h a = B h

b a = B h h a

V = B h h a + b ⋅ h a 2 . C

V = C 2 B h h 2 a + b h a .

Além disso, B=1, pois vamos pensar um pouco, toda a base trapezoidal vale 6, se você diminuir por 4 da base menor, sobra só 2,ou seja, 1m para cada canto.

Passo 3

Já ilustramos o que a questão pediu, já encontramos a equação que descreve o problema, agora só falta derivar.

Derivando em ambos os lados em relação a t:

V = C 2 B h h 2 a + b h a .

d V d t = C 2 B h 2 h a d h a d t + b d h a d t .

Substituindo o que encontramos:

d V d t = 16 2 1 4 2 ⋅ 3 - 25 + 4 ( - 25 ) .

d V d t = 1100 c m 3 / d t  

Resposta

d V d t = 1100 c m 3 / d t  

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