Enunciado

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desse livro

Um tanque com a forma de cone invertido está sendo esvaziado a uma taxa de 6   m 3 / m i n . A altura do cone é de 24 m e o raio da base é de 12 m . Ache a velocidade com que o nível de água está baixando, quando a água tiver uma profundidade de 10 m .

Passo 1

Taxas relacionadas pode parecer um pouco complicado, e as vezes é, pra ser sincero kkkk ;-; mas existe um passo a passo que pode nos ajudar muito pra resolver, confere ai:

1): ler bem o enunciado e anotar a informações necessárias.

2): fazer um lindo desenho para ilustrar o problema:

3): encontrar uma relação entre as variáveis, aqui vale tudo trigonometria, geometria, Pitágoras, Tales, lei dos senos, cossenos etc.

4): colocar toda a função em termos de uma única variável, aqui se aplica o mesmo que que no passo anterior, pode soltar a imaginação e a engenhosidade.

5): derivar a, manipular, substituir e zas e zas, aí você encontra a resposta.

Parece aqueles episódios do pateta tentando aprender alguma coisa kkk

Passo 2

Aqui estamos lidando com um cone com as seguintes dimensões, o raio vale 12, a altura é 24 e o volume aumenta em 6   m 3 / m i n . O que queremos é, taxa de variação da altura quando a água estiver com 10m de profundidade.

Anotando teremos:

R = 12   (raio do tanque)

  H = 24   (altura do tanque)

d V d t = 6   (taxa de variação do volume)

d h d t ​ h = 10 = ?   (queremos a tacha de variação da altura quando h=10(altura da água))

Passo 3

Agora é hora do desenho lindo :3

r (raio da superfície da água) é uma variável assim como h (altura da água), que vão depender do tempo, pois o volume da água diminui com o passar do tempo.

Passo 4

Uma relação muito interessante para se usar aqui é a do volume do cone, veja como todas nossas variáveis aparecem nela.

V = π ⋅ r 2 ⋅ h 3

Passo 5

Agora é hora de relacionar as variáveis, para que possamos derivar, para isso nós podemos simplificar a figura e pensar nela apenas vista de frente.

Lembrando dos tempos de escolinha podemos perceber que estes dois triângulos são semelhantes, pois o menor e resultado do corte do primeiro por uma reta paralela a um dos lados, com isso podemos montar a relação.

r h = 12 24 = 1 2 ⇒ 2 r = h

Nesse caso é interessante colocar a r em função de h , pois estamos interessados na variação da altura, além disso o valor de h já foi informado.

r = h 2

Passo 6

Agora é hora de juntar as informações, derivar implicitamente, manipularmos a equação, substituir valores e zas e zas

V = π r 2 ⋅ h 3 = π h 2 2 ⋅ h 3 = π h 3 12 ⇒ V = π h 3 12

Derivando implicitamente em relação a t

d V d t = d d t π h 3 12 = 3 π h 2 ⋅ d h d t 3 ⋅ 4 = π h 2 4 ⋅ d h d t

Substituindo os valores:

⇒ d V d t = π h 2 4 ⋅ d h d t ⇒ 6 = π 10 2 4 ⋅ d h d t ⇒ d h d t ⋅ 25 π = 6 ⇒ d h d t = 6 25 π

Como as unidades estavam em metros e minutos a resposta será dada em metros e minutos

Ufaaa, pronto terminou, espero ter ajudado :3

Resposta

d h d t = 6 25 π   m / m i n

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