Enunciado

17-18. Verifique a aproximação linear em ( 0 , 0 ) .

17. e^x cos (x y) tildetilde x + 1

Passo 1

Antes de verificarmos a aproximação linear, temos que conferir se f ( x , y ) é diferenciável no ponto dado. Segundo o Teorema 8 discutido na seção 14.4 do Stewart, f só é diferenciável se as derivadas parciais f_x e f_y existirem perto do ponto ( a , b ) e forem contínuas em ( a , b ) . Sendo assim, teremos que encontrar as derivadas parciais da função f no ponto dado e ver se são contínuas. Derivando, teremos:

f_x = e^x . cos (x y) - e^x y . s e n ( x y )

f_x (0 , 0) = e^0 . cos (0) - 0 = 1

f_y = - e^x x . s e n ( x y )

f_y (0 , 0) = 0

Sendo assim, podemos concluir que f_x e f_y são contínuas para quaisquer valores de x e y . Dessa forma, fica provado que, de fato, f é diferenciável no ponto dado.

Passo 2

Tudo bem, agora que provamos que f é diferenciável no ponto em questão, vamos verificar se a aproximação linear bate mesmo! A aproximação linear f ( x , y ) da função no ponto dado é cedido pela seguinte fórmula, galera:

f (x , y) tildetilde f (a , b) + f_x (a , b) (x - a) + f_y (a , b) (y - b)

No ponto que nos foi dado, f ( a , b ) vale:

f (0 , 0) = e^0 cos (0) = 1

Sendo assim, teremos:

f (x , y) tildetilde 1 + 1 (x - 0) + 0

:. f (x , y) tildetilde x + 1

E aí está a verificação solicitada pelo enunciado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Como você lineariza uma função ƒ(x, y) de duas variáveisindependentes em um ponto (x0, y0)? Por que você desejariafazer isso? Como você lineariza uma função de três variáveisindependentes?
Nos Exercícios 25-30, encontre a linearização L(x, y) da função em cada ponto. f x , y = e 2 y - x a ( 0 , 0 ) b 1 , 2
Encontre as linearizações L(x, y, z) das funções nos Exercícios 39-44 nos pontos determinados. f x , y , z = x y + y z + x z a( 1,1 , 1 )
Nos Exercícios 33-38, encontre a linearização L(x, y) da função ƒ(x, y) em P0. Em seguida, encontre um limitante superior para a magnitude |E| do erro na aproximação ƒ(x, y) ≈ L(x, y) sobre o retângul
Encontre as linearizações L(x, y, z) das funções nos Exercícios 39-44 nos pontos determinados. f x , y , z = e x + c o s c o s( y + z ) a ) ( 0,0 , 0 ) b )0 , π 2 , 0 c ) 0 , π 4 , π 4