Enunciado

O método dos multiplicadores de Lagrange assume que os valores extremos existem, mas esse nem sempre é o caso. Mostre que o problema de encontrar o valor mínimo de f x , y = x 2 + y 2 sujeito a restrição x y = 1 pode ser resolvido usando os multiplicadores de Lagrange, mas que f   não tem um valor máximo nessa restrição.

Passo 1

Bom, pelos multiplicadores de Lagrange temos que encontrar:

∇ f x , y = λ ∇ g ( x , y )

Nesse caso temos:

2 x , 2 y = λ y , x

2 x = λ y

2 y = λ x

Agora vamos isolar o λ …

Passo 2

λ = 2 x y = 2 y x

Resolvendo em x   e   y agora...

2 x 2 = 2 y 2

x 2 = y 2

x = ± y

Agora a gente substitui na restrição x y = 1 ...

  • x = y → y y = 1 → y 2 = ± 1 → y = ± 1
  • x = - y → y - y = 1 → - y 2 = 1 → y 2 = - 1   ( n ã o   e x i s t e   n o s   r e a i s )

Então os únicos pontos possíveis são:

- 1 , - 1   e   ( 1,1 )

Passo 3

Vamos testar o valor da função f nesses pontos:

f - 1 , - 1 = - 1 2 + - 1 2 = 2

f 1,1 = 2

Vamos verificar se esse é o valor máximo ou mínimo da função.

Temos que:

f x x = 2

f y y = 2

f x y = 0

Então o D = 2 2 - 0 2 = 4 para qualquer valor.

E f x x - 1 , - 1 = f x x 1,1 = 2 > 0

E então, como D > 0   e   f x x > 0 temos que os pontos em questão são pontos de mínimo. E o valor mínimo da função nessa restrição é 2. E não possui valor máximo. 😎

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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