Enunciado

17-20. Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.

19. T = F ( p ,   q ,   r ) , no qual p = p ( x ,   y ,   z ) , q = q ( x ,   y ,   z ) e r = r ( x ,   y ,   z ) .

Passo 1

Então galera, só reescrevendo o que o enunciado nos informa, temos que descobrir:

∂ T ∂ x ;   ∂ T ∂ y   e   ∂ T ∂ z

E temos que:

p = p ( x ,   y ,   z )

q = q ( x ,   y ,   z )

r = r ( x ,   y ,   z )

Passo 2

Fazendo o diagrama de árvore para facilitar a visualização das variáveis, teremos:

Utilizando os conceitos abordados na seção 14.5 do Stewart, temos que as derivadas parciais, utilizando a regra da cadeia e a árvore que montamos, serão:

∂ T ∂ x = ∂ T ∂ p ∂ p ∂ x + ∂ T ∂ q ∂ q ∂ x + ∂ T ∂ r ∂ r ∂ x

∂ T ∂ y = ∂ T ∂ p ∂ p ∂ y + ∂ T ∂ q ∂ q ∂ y + ∂ T ∂ r ∂ r ∂ y

∂ T ∂ z = ∂ T ∂ p ∂ p ∂ z + ∂ T ∂ q ∂ q ∂ z + ∂ T ∂ r ∂ r ∂ z

E está aí nossas derivadas!

Resposta

∂ T ∂ x = ∂ T ∂ p ∂ p ∂ x + ∂ T ∂ q ∂ q ∂ x + ∂ T ∂ r ∂ r ∂ x

∂ T ∂ y = ∂ T ∂ p ∂ p ∂ y + ∂ T ∂ q ∂ q ∂ y + ∂ T ∂ r ∂ r ∂ y

∂ T ∂ z = ∂ T ∂ p ∂ p ∂ z + ∂ T ∂ q ∂ q ∂ z + ∂ T ∂ r ∂ r ∂ z

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