Enunciado

Encontre a área da superfície.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a parte da superfície z = x y que fica dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1 .

Como a região fica dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1 , então ela é delimitada por um círculo de raio menor ou igual a 1.

Passo 2

Com isso, temos:

z = f (x , y) = x y -> f_x = y , f_y = x

Sendo assim, a área da superfície pode ser escrita como:

A (S) = ∬ sqrt(( x )^2 + (y)^2 + 1) d A = ∬ sqrt(x^2 + y^2 + 1) d A

Conforme visto no passo 1, a região fornecida no enunciado é delimitada por um círculo, sendo assim, podemos mudar o sistema de coordenadas cartesianas para polar, com x = r c o s theta , y = r s e n theta , fazendo isso, temos:

int_0^(2 pi) int_0^1 sqrt(r^2 + 1) r d r d theta

Passo 3

Resolvendo a integral obtida no passo anterior temos:

int_0^(2 pi) [(1)/(3) (r^2 + 1)^(3 // 2)]_(r = 0)^(r = 1) d theta = (1)/(3) int_0^(2 pi) (2 sqrt(2) - 1) d theta

= (2 pi)/(3) ( 2 sqrt(2) - 1 )

Sendo assim, temos:

A (S) = (2 pi)/(3) ( 2 sqrt(2) - 1 )

Resposta

A (S) = (2 pi)/(3) ( 2 sqrt(2) - 1 )

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Encontre a área da superfície.
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