17-40 Encontre os limites.

32. lim h → 0 ⁡ s e n h 1 - c o s h

Passo 1

Vamos começar tentando resolver aquele s e n h ali de cima. Para tanto, vamos dividir o denominador e o numerador por h .

lim h → 0 ⁡ s e n h 1 - c o s h = lim h → 0 ⁡ s e n h h 1 - c o s h h

Passo 2

Agora, é só usar o teorema aquele teorema que diz que lim x → 0 ⁡ s e n x x = 1 . Assim,

lim h → 0 ⁡ s e n h h 1 - c o s h h = lim h → 0 ⁡ 1 1 - c o s h h

Passo 3

Para a parte de baixo, nós precisaremos fazer algumas manipulações. Vem comigo!!!

lim h → 0 ⁡ 1 1 - c o s h h = lim h → 0 ⁡ 1 1 - c o s h ( 1 + c o s h ) h ( 1 + c o s h )

Sabemos que 1 - c o s h ( 1 + cosh ⁡ ) é um produto notável cujo resultado é 1 - cos 2 ⁡ h . Mas essa é uma identidade trigonométrica que nós sabemos: s e n 2 h = 1 - cos 2 ⁡ h . Agora, é só substituir.

lim h → 0 ⁡ 1 1 - c o s h ( 1 + c o s h ) h ( 1 + c o s h ) = lim h → 0 ⁡ 1 s e n 2 h h ( 1 + c o s h )

Utilizando novamente o teorema do passo anterior, vamos obter:

lim h → 0 ⁡ 1 s e n 2 h h ( 1 + c o s h ) = lim h → 0 ⁡ 1 s e n h . s e n h h ( 1 + c o s h )

lim h → 0 ⁡ 1 s e n h ( 1 + c o s h )

lim h → 0 ⁡ 1 s e n 0 ( 1 + c o s 0 ) = lim h → 0 ⁡ 1 0 2 = ∞

Resposta

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