Enunciado

18. a. Bombeamento de leite Suponha que o recipiente cônico do Exemplo 5 contenha leite (cujo peso específico é 64,5 l b p é 3   ) em vez de azeite de oliva. Quanto trabalho será necessário para bombear o conteúdo até a borda?

Passo 1

O exemplo 5 nos mostra esse recipiente.

O exercício pede para calcular o trabalho para bombear o leite até a borda.

Passo 2

Lembrando que para calcular o trabalho usamos W = F ⋅ d .

Vamos descobrir quem é nosso F .

Sabemos que a massa específica do leite é 64,5   l b / p é 3 , repare que isso é uma unidade de Força ( l b ) dividida por uma unidade de volume, ou seja, se multiplicarmos isso pelo volume do leite teremos unidade de força, então

F = 64,5 l b p é 3 ⋅ ∆ V

E a distância será o nível do leite até a altura do cilindro, ou seja 10 - y

Passo 3

Agora vamos descobrir quem é nosso ∆ V .

A área do disco de um cone é

A = π r 2

Perceba que a figura nos dá que r = x e x = y 2

Então

A = π y 2 2

E isso nos dá que o volume é

∆ V = A ⋅ ∆ y = π y 2 2 ∆ y

Nós ainda não sabemos o valor de ∆ y porque o volume de água varia com o tempo, então ∆ y também vai variar.

Passo 4

Agora podemos calcular a integral, como no exemplo 5, mas fazendo a devida substituição

W = ∫ 0 8 64,5 π 4 10 y 2 - y 3 d y = 64,5 π 4 ⋅ 10 ⋅ 8 3 3 - 8 4 4 = 21,5 π ⋅ 8 3 ≈ 34582,65  

Resposta

34582,65   f t ⋅ l b

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