Enunciado

22. Um tanque esférico de água, com 24 pés de diâmetro, fica no topo de uma torre de 60 pés. O tanque é cheio por uma mangueira presa ao fundo da esfera. Se uma bomba de 1,5 cavalo – vapor for usada para fornecer água até o tanque, quanto tempo levará para encher o tanque? (1 cavalo – vapor é igual a 550 pés-lb de trabalho por segundo.)

Passo 1

Inicialmente, teremos que pensar sempre em um elemento muito pequeno e da mesma forma que a borda, temos um tanque esférico, então a borda é uma circunferência, então o elementinho será uma circunferência! Admitiremos o solo da torre como ponto 0 .

E a densidade da água será 62,5   l b / f t 3 .

Passo 2

Pensando nesse elemento, temos que o seu volume é dado pela área desse elemento multiplicado pela espessura ( ∆ x ) .

V = π d 2 2 ∆ x = π 24 2 2 ∆ x = π 12 2 ∆ x = 144 π ∆ x f t 2

Esse é o volume do elementozinho, vamos calcular o peso agora:

P = 144 π ∆ x f t 2 62,5   l b / f t 3 = 9000 π ∆ x l b / f t

Agora pensaremos na distância que esse elementinho iria percorrer até a borda, ora se ele está a uma distância x da borda, ele terá que percorrer x até a borda:

w = 9000 π x ∆ x

Agora para aplicarmos a soma de Rienmann, teremos que antes pensar num elementinho muito fininho, ou seja, ∆ x → 0 e pensando em todos os elementos, e o levaremos o elementinho mais fundo de 60 até 84   p é s .

Você deve estar se perguntando, porque seria 84 pés?

Mas vamos pensar, 0 é o solo da torre, 60 é o topo da torre, para acharmos o ponto mais alto da torre temos que somar o diâmetro da esfera, que é 24 pés.

W = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 9000 π x ∆ x = ∫ 60 8 4 9000 π x d x

Passo 3

W = ∫ 0 4 9000 π x d x = 9000 π x 2 2 84 60 = 9000 π × 172 8 ≈ 48.858.048,95   f t   – l b s

Passaremos esse valor para Joule, sabendo que 1   c a v a l o - v a p o r = 550   p é s - l b   d e   t r a b a l h o   p o r   s e g u n d o . )

Então

1,5   c a v a l o - v a p o r   =   825   p é s - l b   d e   t r a b a l h o   p o r   s e g u n d o

Para descobrirmos o tempo, iremos dividir o trabalho total ( 48.858.048,95   f t   – l b s ) por 825   p é s - l b   d e   t r a b a l h o   p o r   s e g u n d o .

Dividindo achamos que o tempo é aproximadamente:

t = 59.221,88 s = 16,45 h

Resposta

t = 59.221,88 s = 16,45 h

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