Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.3 - Ex. 18
(a) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo local de .
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão:
Passo 1
Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui iremos trabalhar os pontos importantes da função.
Passo 2
Item a:
Primeiramente vamos obter a derivada de :
Passo 3
Uma função é crescente onde sua primeira derivada é positiva, ou seja:
Passo 4
Uma função é decrescente onde sua derivada é negativa, ou seja:
Logo, é crescente em e decrescente em .
Passo 5
Item b:
Para máximos e mínimos locais devemos achar os pontos críticos:
O único ponto crítico é , e como cresce até esse ponto e decresce a partir dele, então é uma máximo local.
Passo 6
Item c:
Primeiramente vamos obter a derivada segunda de :
Passo 7
A concavidade de uma função é para cima se sua derivada segunda for maior que zero:
A concavidade de uma função é para baixo se sua derivada segunda for menor que zero:
Quando a derivada segunda de uma função é zero em um ponto então esse ponto é o ponto de inflexão, logo:
Portanto, possui concavidade para baixo no intervalo , concavidade para cima no intervalo e ponto de inflexão em .
Resposta
(a) é crescente em e decrescente em .
(b) é uma máximo local
(c) possui concavidade para baixo no intervalo , concavidade para cima no intervalo e ponto de inflexão em .