Enunciado

Determine os valores mínimo e máximo absolutos de cada função nos intervalos dados. Em seguida, esboce o gráfico da função. Identifique os pontos no gráfico em que os extremos absolutos ocorrem e inclua suas coordenadas.

Passo 1

Para determinar os valores máximo e mínimo absolutos, podemos fazer a derivada da função dada e igualar este resultado a zero (encontrar ponto(s) crítico(s)). Fazendo esse procedimento, temos que:

f ' θ = c o s ⁡ ( θ ) = 0

x = - π 2           e           x = π 2

O resultado da primeira derivada de f ( θ ) , depois que igualada a zero, indica que π / 2 é um ponto crítico. O outro ponto encontrado - π / 2 não está contido no intervalo dado e, logo, não pode ser considerado um ponto crítico.

Assim, neste momento, iremos analisar apenas x = π / 2 :

Para x < π / 2 , f ' ( θ ) é positivo;

Para x > π / 2 , f ' ( θ ) é negativo.

Com isso, podemos concluir que x = π / 2 é um máximo local.

Assim, caso existam outros extremos absolutos, eles serão determinados através do esboço do gráfico da função.

Passo 2

Fazendo o esboço do gráfico da função é possível tirar algumas conclusões sobre a função e, também, verificar se existem extremos absolutos e onde eles existem. Nesse caso, o intervalo é fechado, portanto podemos verificar os pontos extremos desse intervalo.

x = π / 2 x = - π / 2

Passo 3

Logo, para saber as coordenadas de cada ponto em que existe um extremo absoluto temos:

- π 2 ,   - 1           ,           π 2 , 1           e           5 π 6 , 1 2

Resposta

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