Enunciado

1-8. Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico.

1. x 2 = 6 y

Passo 1

Então pessoal, uma equação de parábola em seu formato geral, de acordo com a seção 10.5 do James, é dada da seguinte maneira:

x 2 = 4 p y

No qual seu foco é dado em ( 0 , p ) e sua diretriz é dada em y = - p . Um outro formato é obtido se fizermos a inversa dessa função, ou seja, refleti-la em torno da reta y = x . Se fizermos isso, o formato geral da equação de parábola ficará:

y 2 = 4 p x

No qual seu foco é dado em ( p , 0 ) e sua diretriz é dada em x = - p . No nosso caso temos uma parábola no formato x 2 = 4 p y , não é mesmo? Sendo assim, usaremos as informações desse formato, assim como comentado aqui em cima.

Passo 2

Para encontrarmos o vértice de uma parábola, ou seja, o ponto em que ela muda de sentido, precisamos determinar x v e y v , no qual significam x do vértice e y do vértice, respectivamente. As equações são:

x v = - b 2 a

y v = - ∆ 4 a

Para a equação que nos foi dada temos que: a = 1 6 ,   b = 0   e   c = 0 . Logo:

x v = - 0 1 3 = 0

y v = - b 2 - 4 a c 4 a = - 0 4 6 = 0

Portanto o vértice será: ( x v , y v ) ⇒ ( 0,0 ) .

Passo 3

Para determinar o foco e a diretriz temos que encontrar p , assim como comentado no passo 1, certo? Se igualarmos a equação que nos foi dada com a equação geral da parábola, teremos:

6 y = 4 p y

p = 6 4 = 3 2

Sendo assim, a diretriz será: y = - p   ⇒ y = - 3 2 .

Como o foco é dado no ponto ( 0 , p ) , então o foco para essa parábola será: 0 , 3 2 . Por fim, esboçando esse gráfico:

Resposta

v é r t i c e : ( 0,0 )

f o c o : 0 , 3 2

d i r e t r i z : y = - 3 2

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