Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 11
Seja C a curva de interceção do cilindro parabólico e a superfície . Encontre o comprimento exato de C da origem até o ponto .
Passo 1
O comprimento de uma curva é dado pela seguinte relação:
Passo 2
Para encontrar o comprimento exato da curva, primeiramente precisamos encontrar a função vetorial :
A partir do cilindro parabólico podemos encontrar e .
Fazendo , obtemos que .
Já pela equação da superfície encontramos .
Desta forma:
Passo 3
Para a nossa curva, temos:
Os limites de integração e corresponde aos valores de no qual obtemos os pontos e .
Para , obtemos:
Para , obtemos:
Desta forma os limites de integração são:
Passo 4
Calculando as derivadas que estão dentro da raíz na integral:
Passo 5
Portanto o comprimento da curva é:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Dois gráficos, a e b , são mostrados. Um é a curva y = f ( x ) e o outro é o gráfico da função curvatura y = κ ( x ) . Identifique cada uma e justifique suas escolhas.
Use o Teorema 10 para mostrar que a curvatura da curva plana parametrizada x = f t , y = g ( t ) , é κ = x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ x ˙ 2 + y ˙ 2 3 / 2
Dois gráficos, a e b , são mostrados. Um é a curva y = f ( x ) e o outro é o gráfico da função curvatura y = κ ( x ) . Identifique cada uma e justifique suas escolhas.
Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura. y = 4 x 5 / 2
Determine a equação da parábola que tenha curvatura 4 na origem.