Enunciado

Seja C a curva de interceção do cilindro parabólico x 2 = 2 y e a superfície 3 z = x y . Encontre o comprimento exato de C da origem até o ponto ( 6,18,36 ) .

Passo 1

O comprimento de uma curva é dado pela seguinte relação:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Passo 2

Para encontrar o comprimento exato da curva, primeiramente precisamos encontrar a função vetorial r → ( t ) :

A partir do cilindro parabólico podemos encontrar x e y .

Fazendo x = t , obtemos que y = 1 2 t ² .

Já pela equação da superfície encontramos z .

z = 1 3 ∙ 1 2 t 3 = 1 6 t 3

Desta forma: r → t = t , 1 2 t 2 , 1 6 t ³

Passo 3

Para a nossa curva, temos:

x = t ,   y = 1 2 t 2   e   z = 1 6 t 3

Os limites de integração a e b corresponde aos valores de t no qual obtemos os pontos ( 0,0 , 0 ) e ( 6,18,36 ) .

Para t = 0 , obtemos:

x = 0 ,   y = 0   e   z = 0

Para t = 6 , obtemos:

x = 6 ,   y = 36 2 = 18   e   z = 216 6 = 36

Desta forma os limites de integração são:

a = 0   e   b = 6

Passo 4

Calculando as derivadas que estão dentro da raíz na integral:

d x d t = 1

d y d t = t

d z d t = 1 2 t 2

Passo 5

Portanto o comprimento da curva é:

L = ∫ 0 6 1 2 + t 2 + 1 2 t ² 2 d t = ∫ 0 6 1 + t 2 + 1 4 t 4   d t

L = ∫ 0 6 1 2 t 2 + 1 2   d t = ∫ 0 6 1 2 t 2 + 1   d t

L = 1 6 6 3 + 6 - 1 6 0 3 + 0 = 42

Resposta

L = 42

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dois gráficos, a e b , são mostrados. Um é a curva y = f ( x ) e o outro é o gráfico da função curvatura y = κ ( x ) . Identifique cada uma e justifique suas escolhas.
Use o Teorema 10 para mostrar que a curvatura da curva plana parametrizada x = f t , y = g ( t ) , é κ = x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ x ˙ 2 + y ˙ 2 3 / 2
Dois gráficos, a e b , são mostrados. Um é a curva y = f ( x ) e o outro é o gráfico da função curvatura y = κ ( x ) . Identifique cada uma e justifique suas escolhas.
Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura. y = 4 x 5 / 2
Determine a equação da parábola que tenha curvatura 4 na origem.