Enunciado

18- Use um sistema algébrico computacional para plotar o campo vetorial F x , y , z = s e n   x c o s 2 y   i + s e n 3 y cos 4 ⁡ z j + s e n 5 z cos 6 ⁡ x   k   no cubo obtido cortando o primeiro octante pelos planos x = π / 2 , y = π / 2 e z = π / 2 . Em seguida calcule o fluxo através da superfície do cubo.

Passo 1

O fluxo em F é obtido pelo teorema do divergente nos intervalos de x , y   e z dados no enunciado:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 d i v F  

O divergente de F é:

d i v   F = cos ⁡ x cos 2 ⁡ y + 3 s e n 2   y c o s   y c o s 4 z + 5 s e n 4 z cos ⁡ z   cos 6 ⁡ x

Deixando nossa integral da seguinte forma:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x cos 2 ⁡ y + 3 s e n 2   y c o s   y c o s 4 z + 5 s e n 4 z cos ⁡ z   cos 6 ⁡ x   d x d y d z  

Passo 2

Vamos fazer essa integral com calma, primeiro começando por:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ( cos ⁡ x cos 2 ⁡ y )   d x d y   d z

O que é:

∫ 0 π / 2 d z   ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x   d x ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ y   d y

π 2 s e n   x 0 π / 2 y 2 + s e n   2 y 4 0 π / 2

π 2 π 4 + 0 = π 2 8

Passo 3

Agora para a próxima:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 3 s e n 2   y c o s   y c o s 4 z d x d y d z

3 ∫ 0 π / 2 d x   ∫ 0 π / 2 ( s e n 2 y cos ⁡ y ) d y ∫ 0 π / 2 cos 4 ⁡ z   d z

Pela tabela de integrais presente no anexo desse livro conseguimos tirar que:

∫ cos n ⁡ u d u = 1 n cos n - 1 ⁡ u   s e n   u + n + 1 n ∫ cos n - 2 ⁡ u d u

Dessa forma:

∫ cos 4 ⁡ u d u = 1 4 cos 3 ⁡ u s e n   u + 3 4 1 2 u + 1 4 s e n   2 u

E aplicando a substituição:

u = sin ⁡ x

d u = cos ⁡ x

Logo:

∫ s e n 2 y cos ⁡ y d y = 1 3 sin 3 ⁡ y

Logo:

3 π 2 × 1 3 sin 3 ⁡ y   0 π / 2 × 1 4 cos 3 ⁡ u s e n   u + 3 4 1 2 u + 1 4 s e n   2 u 0 π / 2

π 2 × 0 + 3 4 π 4 + 0 = 3 π 2 32

Passo 4

Agora para o último:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 5 s e n 4 z cos ⁡ z   cos 6 ⁡ x d x   d y   d z

5 ∫ 0 π / 2 d y   ∫ 0 π / 2 ( s e n 4 z cos ⁡ z   )   d x   ∫ 0 π / 2 cos 6 ⁡ x d x

Essa é mais complexa mas o raciocínio é o mesmo simplesmente vamos colocar o valor aqui:

5 π 2 64

Logo o resultado disso ai tudo é:

5 π 2 64 + 3 π 2 32 + π 2 8 = 19 π 2 64

Resposta

19 π 2 64

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