Enunciado

Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ ∫ S r o t   F .   d S

3- F x , y , z = x 2 e y z i + y 2 e x z j + z 2 e x y k ,

S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,   z ≥ 0 , com orientação para cima.

Passo 1

Vamos utilizar o teorema de Stokes para a superfície fechada formada pelo paraboloide e o plano z = 0 nesse plano o paraboloide forma a seguinte equação :

x 2 + y 2 = 4

Que é um círculo de raio igual a 2 e cuja equação parametrizada vale:

r t = 2 cos ⁡ ( t ) i + 2 sin ⁡ t j

E sua derivada em relação a t vale:

r ' t = - 2 sin ⁡ t i + 2 cos ⁡ ( t ) j

Onde t por ser um círculo fechado vai de 0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 2

Dessa forma a integral de linha que devemos resolver fica:

∫ 0 2 π F r t × r ' t d t = ∫ 0 2 π ( 4 cos 2 ⁡ t e 0 , 4 sin 2 ⁡ ( t ) e 0 , 0 ) .   ( - 2 sin ⁡ t , 2 cos ⁡ ( t ) )   d t

= ∫ 0 2 π - 8 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t + 8 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t d t

O que é a mesma coisa que:

∫ 0 2 π ( - 8 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t d t + ∫ 0 2 π ( 8 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t )   d t

Na primeira integral vamos aplicar a seguinte substituição:

u = cos ⁡ t

d u = - sin ⁡ t

E na segunda aplicar a substituição:

v = sin ⁡ t

d v = cos ⁡ t

O que nos dá a integral:

8 ∫ u 2 d u + 8 ∫ v 2 d v

8 u 3 3 + 8 v 3 3

Voltando para o domínio t :

sin 3 ⁡ t 3 0 2 π + cos 3 ⁡ t 3 0 2 π

8 [ 0 + 1 - 1 ] = 0

Resposta

0

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