Enunciado

19. Considere um lago, de volume constante V, contendo, no instante t, uma quantidade Q(t) de poluentes distribuídos uniformemente em todo o lago com uma concentração c(t), onde c(t) = Q(t)/V. Suponha que está entrando no lago água contendo uma concentração k de poluentes a uma taxa r e que está saindo água do lago à mesma taxa. Suponha também que são adicionados poluentes diretamente no lago a uma taxa constante P. Note que as hipóteses feitas não consideram uma série de fatores que podem ser importantes em alguns casos — por exemplo, a água que é adicionada ou perdida devido à precipitação, à absorção ou à evaporação; aestratificação em consequência das diferenças de temperatura em um lago profundo; a produção de baías protegidas, por causa de irregularidades na borda; e o fato de que os poluentes não são depositados uniformemente em todo o lago (em geral), mas em pontos isolados em suaperiferia. Os resultados a seguir têm que ser interpretados levando em consideração que não foram contemplados fatores como esses.

(a) Se a concentração de poluentes no instante t = 0 é c0, encontre uma expressão para aconcentração c(t) em qualquer instante t. Qual é a concentração limite quando t → ∞?

(b) Se a adição de poluentes no lago termina (k = 0 e P = 0 para t > 0), determine o intervalode tempo T necessário para que a concentração de poluentes seja reduzida a 50% de seu valororiginal; e a 10% de seu valor original.(c) A Tabela 2.3.2 contém dados6 para os Grandes Lagos.* Usando esses dados, determine, a partir do item (b), o tempo T necessário para reduzir a contaminação desses lagos a 10% de seu valor original.

Passo 1

Quando olhamos para esse questão podemos usar a mesma modelização que a teoria desse capitulo usa nas questões de concentração num tanque, assim nossa equação tem a seguinte cara

d Q d t = k r - r Q V + P

O ótimo dessa equação é que ela é separável, podemos fazer o seguinte truque então

1 k r - r Q V + P d Q = d t

Sim , é possível fazer isso, e não é bruxaria ! Vamos integrar em ambos os lados

- V r ln ⁡ k r - r Q V + P = t

k r - r Q V + P =   e - t r V + C

Não podemos esquecer de C, e como ele ta la em cima no argumento da exponencial , podemos manipular ele, afinal é arbitrário

k r - r Q V + P = C e - t r V

Q = V r P + k r - C e - t r V

Passo 2

Vamos agora achar nossa função concentração C(t) pelos dados de contorno

C t = Q V

C t = 1 V ⋅ V r P + k r - C e - t r V

C t = 1 r P + k r - C e - t r V

Usando os dados de contorno agora

C 0 = C 0

C 0 =   1 r P + k r - C

- C = r C 0 - P - k r

Assim nossa função é

C t = 1 r P + k r + r C 0 - P - k r e - t r V

Passo 3

E por fim queremos saber o que acontece com nossa função quando aplicamos o limite para t muito grande. Vamos descobrir então

lim t → ∞ ⁡ 1 r P + k r + r C 0 - P - k r e - t r V

A parte exponencial tende a zero, logo nossa concentração tende a

C t = 1 r P + k r

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

C t ∞ = 1 r P + k r

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

26. Um corpo de massa m é projetado verticalmente para cima com uma velocidade inicial υ0 emum meio que oferece uma resistência k|υ|, em que k é constante. Suponha que a atraçãogravitacional da Terra
24. Um trenó foguete, com velocidade inicial de 150 milhas/h (≈ 240 km/h), é freado por um canalde água. Suponha que, enquanto está sendo freado, a aceleração a do trenó é dada por a(υ) = –μυ², em que
25. Um corpo de massa m é projetado verticalmente para cima com uma velocidade inicial υ0 emum meio que oferece uma resistência k|υ|, em que k é constante. Não leve em consideraçãovariações na força g
24. Um trenó foguete, com velocidade inicial de 150 milhas/h (≈ 240 km/h), é freado por um canalde água. Suponha que, enquanto está sendo freado, a aceleração a do trenó é dada por a(υ) = –μυ², em que
21. Suponha que as condições são como no Problema 20, exceto que existe uma força devido àresistência do ar com sentido oposto ao da velocidade e magnitude |υ|/30, em que a velocidadeυ é medida em m/s