Enunciado

19-22. Calcule a integral de linha ∫ C F ∙ d r , onde C é dada pela função vetorial r ( t ) .

20. F x ,   y ,   z = x + y 2 i + x z j + y + z k ,   r t = t 2 i + t 3 j - 2 t k ,   0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Então pessoal, o que precisamos fazer aqui é resolver essa integral:

∫ C F ∙ d r = ∫ 0 2 F r t ∙ r ' t d t

Aqui vale ressaltar que o intervalo de integração foi tirado do próprio enunciado, no qual determina que 0 ≤ t ≤ 2 , tudo bem? Mas quem seria F r t ? Comparando as componentes, temos que:

x = t ²

y = t ³

z = - 2 t

Sendo assim, F r t será:

F r t = t 2 + t 6 i - 2 t 3 j + t 3 - 2 t k

Ok, e quem seria r ' t ? É a derivada de r ( t ) , que é:

r ' t = 2 t i + 3 t 2 j - 2 k

Passo 2

Agora que determinamos F r t e r ' t , vamos realizar aquele produto escalar que aparece dentro do integrando, saca só:

F r t ∙ r ' t = t 2 + t 6 , - 2 t 3 ,   t 3 - 2 t ∙ 2 t , 3 t 2 , - 2

F r t ∙ r ' t = 2 t 3 + 2 t 7 - 6 t 5 - 2 t 3 + 4 t = 2 t 7 - 6 t 5 + 4 t

Substituindo na integral, teremos:

∫ 0 2 2 t 7 - 6 t 5 + 4 t d t = 2 t 8 8 - t 6 + 2 t 2 2 0

2.2 8 8 - 2 6 + 2.2 2 = 64 - 64 + 8 = 8

∴ ∫ C F ∙ d r = 8

E esse é o resultado da nossa integral de linha 😊!

Resposta

∫ C F ∙ d r = 8

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28- Determine o valor exato de ∫ C F. d r , onde F x , y , z = x 4 e y i + ln ⁡ zj + y 2 + z 2k e C é o segmento de reta entre ( 1,2 , 1 ) a ( 6,4 , 5 ) .