Enunciado

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar:

∫ z 2   d x + x 2 d y + y 2 d z

C é o segmento de linha de ( 1,0 , 0 ) até ( 4,1 , 2 ) .

Passo 2

Nesse exercício devemos primeiro parametrizar o segmento de linha dado no enunciado, com base nos pontos dados, temos:

x = 1 + 3 t ,   y = t ,   z = 2 t ,     0 ≤ t ≤ 1

Agora, podemos aplicar a fórmula 7 vista nessa seção, só precisamos calcular o valor das derivadas em relação a t , sendo assim:

d x d t = 3

d y d t = 1

d z d t = 2

Agora, substituindo o valor das expressões na fórmula 7, temos:

∫ z 2   d x + x 2 d y + y 2 d z = ∫ 0 1 2 t 2 3   d t + 1 + 3 t 2 d t + t 2 2   d t

Expandindo o produto notável, reagrupando os termos e colocando d t em evidência, temos:

∫ 0 1 23 t 2 + 6 t + 1 d t

Passo 3

Agora, resolvendo a integral para t , temos:

23 3 t 3 + 3 t 2 + t 0 1 = 23 3 1 3 + 3 1 2 + 1 - 0

= 23 3 + 3 + 1

Dessa forma, o valor da integral é:

∫ z 2   d x + x 2 d y + y 2 d z = 35 3

Resposta

∫ z 2   d x + x 2 d y + y 2 d z = 35 3

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