Enunciado

28- Determine o valor exato de ∫ C F   . d r , onde F x , y , z = x 4 e y i + ln ⁡ z   j + y 2 + z 2   k e C é o segmento de reta entre ( 1,2 , 1 ) a ( 6,4 , 5 ) .

Passo 1

Parametrizando o segmento de reta dado nos temos:

r t = r 0 + r 1 - r 0 t

r t = 1,2 , 1 + 6 - 1,4 - 2,5 - 1 t

r t = 1 + 5 t , 2 + 2 t , 1 + 4 t

Ou

r t = 1 + 5 t i + 2 + 2 t j + 1 + 4 t k

Com t indo de 0 até 1.

0 ≤ t ≤ 1

E o valor de r ' ( t ) será então:

r ' t = 5,2 , 4

Passo 2

Agora vamos aplicar a integral de linha fazendo:

∫ C F   . d r = ∫ F r t r ' t d t

Dessa forma nós teremos:

= ∫ 0 1 1 + 5 t 4   e 2 + 2 t , ln ⁡ 1 + 4 t , 2 + 2 t 2 + 1 + 4 t 2 . 5,2 , 4 d t

= ∫ 0 1 5 1 + 5 t 4   e 2 + 2 t + 2 ln ⁡ 1 + 4 t + 4 20 t 2 + 16 t + 5   d t

Fazendo essas integrais nós teremos:

= [ 2298.996 ] + 1 2 ln ⁡ 1 + 4 t + 4 t ln ⁡ 1 + 4 t - 1 - 4 t 0 1 +

1 5 5 9 ln ⁡ 2 5 t + 2 + 100 t 2 + 80 t + 25 3 + 2 5 t + 2 100 t 2 + 80 t + 25 0 1

Um programa de cálculo foi utilizado para encontrar essa integral.

= 2298.996 + 9 5 5 ln ⁡ 14 + 205 3 - ln ⁡ 3 + 14 + 205 3 - 3 + 1 2 ln ⁡ 5 + 4 ln ⁡ 5 - 4  

A primeira integral é extremamente extensa para representar aqui sem definir a integral. Então calculamos no desmos o valor da integral definida.

só indicar a integral.

Resposta

2298.996 + 9 5 5 ln ⁡ 14 + 205 3 - ln ⁡ 3 + 14 + 205 3 - 3 + 1 2 ln ⁡ 5 + 4 ln ⁡ 5 - 4  

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Calcule a integral de linha ∫ C F.d r , onde C é dada pela função vetorial r t . F x ,y = s e nxi + cos ⁡ y j + x zk, r t = t 3i - t 2j + tk,0 ≤ t ≤ 1
Calcular o trabalho realizado pela força f → = ( y , z , x ) para deslocar um partícula ao longo da hélice r → t = cos ⁡ t ,s e nt ,2 t de t = 0 a t = 2 π .
Determinar o trabalho realizado pela força f → ( x , y , z ) = x , 0,2 z Para deslocar uma partícula ao longo da poligonal que une os pontos A = 0,0 , 0 ,B = 0,1 , 0 ,C = 0,1 , 1 ,eD = ( 1,1 , 1 ) no
Calcular o trabalho realizado pela força f → = 2 i → + x j → + z k → sobre uma partícula ao longo de C , que é mostrado na Figura 9.34.
Calcular a integral I = ∫ C ( e x d x + z d y + cos ⁡ y d z ) ao longo de C , que é mostrado nas figuras 9.35 , 9.36 e 9.37 .