19-24. Encontre d^2y / dx^2 .

24. y = tg x

Passo 1

Então galera, a princípio o que seria encontrar d 2 y d x 2 ? Essa notação significa que devemos derivar a função que nos foi dada duas vezes, ou seja, derivar y para encontrarmos y ' e depois derivar y ' para encontrarmos y ' ' , ou melhor, d 2 y d x 2 . Show!

Ademais, caso precisemos, a seção 5 do Anton já nos cede o resultado de algumas derivadas trigonométricas. Então sempre que aparecer uma função trigonométrica pra gente, basta olharmos o resultado de sua derivada aqui ↓!

d d x s e n   x = cos ⁡ x   d d x cos ⁡ x = - s e n   x   d d x t g   x = sec 2 ⁡ x

d d x sec ⁡ x = sec ⁡ x . t g   x   d d x c o t g   x = - c o s s e c 2   x

d d x c o s s e c   x = - c o s s e c   x . c o t g   x

Então vamo que vamo!

Passo 2

A função que nos foi dada é:

y = t g   x

Aqui não devemos utilizar nenhuma regra, pois se trata de uma função cuja derivada é bem conhecida! Consultando a tabelinha do passo 1 teremos que o resultado será:

y ' = sec 2 ⁡ x

Encontramos y ' , agora vamos encontrar y ' ' !

Passo 3

Para encontrarmos y ' ' vamos realizar uma substituição, tudo bem? Vamos fazer o seguinte:

u = sec ⁡ x

u ' = sec ⁡ x . t g   x

Da nossa y ' temos que:

y ' = u 2

Derivando:

y ' ' = 2 u . u '

Substituindo u e u ' :

y ' ' = 2 . sec ⁡ x . sec ⁡ x . t g   x

Sendo assim, teremos:

d 2 y d x 2 = 2 sec 2 ⁡ x . t g   x

E essa é a nossa derivada segunda, galera! 😉

Resposta

d 2 y d x 2 = 2 sec 2 ⁡ x . t g   x

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