Enunciado

19-24. Encontre (d^2 y)/(d x^2) .

23. y = s e n x . cos x

Passo 1

Então galera, a princípio o que seria encontrar (d^2 y)/(d x^2) ? Essa notação significa que devemos derivar a função que nos foi dada duas vezes, ou seja, derivar y para encontrarmos y^' e depois derivar y ' para encontrarmos y^(' ') , ou melhor, (d^2 y)/(d x^2) . Show!

Ademais, caso precisemos, a seção 5 do Anton já nos cede o resultado de algumas derivadas trigonométricas. Então sempre que aparecer uma função trigonométrica pra gente, basta olharmos o resultado de sua derivada aqui ↓!

(d)/(d x)(s e n x)=cos x (d)/(d x)(cos x)=-senx (d)/(d x)(t g x)=sec^2 x

(d)/(d x)(sec x)=sec x.tgx (d)/(d x)(c o t g x)=-cossec^2x

(d)/(d x)(c o s s e c x)=-cossecx.cotgx

Então vamo que vamo!

Passo 2

A função que nos foi dada é:

y = s e n x . cos x

Como temos um produto de duas funções (s e n x . cos x) , então devemos utilizar a regra do produto, que é a seguinte:

y = u . v

y^' = u^' . v + u . v^'

No nosso caso, temos:

u = s e n x

u^' = cos x

v = cos x

v^' = - s e n x

Substituindo na regrinha, teremos:

y^' = cos x . cos x - s e n x . s e n x

Encontramos y^' , agora vamos encontrar y^(' ') !

Passo 3

Note que na nossa derivada aparece dois outros produtos, que são (cos x . cos x) e (s e n x . s e n x) , então devemos aplicar mais duas regras do produto, uma para cada produto! Para o primeiro produto, temos:

u = cos x

u^' = - s e n x

v = cos x

v^' = - s e n x

E para o segundo produto, temos:

u = s e n x

u^' = cos x

v = s e n x

v^' = cos x

Substituindo na regrinha, teremos:

y^(' ') = (- s e n x . cos x - cos x . s e n x) - (cos x . s e n x + s e n x . cos x)

:. (d^2 y)/(d x^2) = - 4 s e n x . cos x

E essa é a nossa derivada segunda, galera! 😉

Resposta

(d^2 y)/(d x^2) = - 4 s e n x . cos x

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Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se g x = f x s e nx , então g ' 0 = f ( 0 ) .
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = (1)/(1 + cos x)
Em cada item, determine onde f é diferenciável. f x = cos sec ⁡ x
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se f xc o sx = s e nx , então f ' x = sec 2 ⁡ x .
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o s x