Enunciado

Um segmento de um círculo é a região compreendida por um arco e sua corda (ver Figura Ex-34). Se r for o raio do círculo θ , o ângulo subentendido no centro do círculo, então pode-se mostrar que a área A do segmento é A = 1 2   r 2 θ - s e n   θ   , onde θ está em radianos. Encontre o valor de θ para o qual a área do segmento é um quarto da área do círculo. Dê o valor de θ até o grau mais próximo.

Passo 1

Fala aí! Tudo joia?

Olha só: a gente quer que a área A seja igual a um quarto da área do círculo. Um quarto da área do círculo é π r 2 4 certo? Então a gente quer isso aqui:

1 2   r 2 θ - s e n   θ = π r 2 4

Agora a gente dá uma simplificada...

θ - s e n   θ = π 2

f θ = θ - s e n   θ - π 2 = 0

A gente precisa achar uma raiz pra essa equação aí então.

Passo 2

A gente vai ter que usar o tal do método de Newton pra achar uma raiz aproximada aí.

Para usar o método de Newton, a gente faz:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar derivar:

f ' θ = 1 - cos ⁡ θ

A raiz disso tá ali entre 2   e   3 (dá pra ver se olhar no gráfico da função).

Então a gente vai usar x 1 = 2 .

Passo 3

Então a gente joga na fórmula agora:

x 2 = 2 - 2 - s e n   2 - π 2 1 - cos ⁡ 2 = 2,339

x 3 = 2,31

x 4 = 2,31

Então a aproximação do ângulo θ em radianos é aproximadamente 2 , 31 . Em graus então é aproximadamente 1 32 ° . 😽

Resposta

132 °

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