Enunciado

4.Em cada parte, esboce uma figura análoga à figura 5.6.10 para a função e o intervalo especificados. [Considere y = f ( x ) a fronteira superior da região. Se   x   * for único, identifique f (   x   * ) e   x   * no esboço. Caso contrário, identifique f (   x   * ) no esboço e determine todos os valores de   x   * que satisfazem a Equação (8).]

a) A região da parte (a) do Exercício 1 .

b) A região da parte (b) do Exercício 1 .

c) A região da parte (c) do Exercício 1 .

Passo 1

Vou começar mostrando essa famigerada equação 8, que ele diz. É na verdade o Teorema do Valor Médio.

∫ a b f x d x = f (   x   * ) ( b - a )

Basicamente, o que esse teorema diz é que existe uma função constante que tem área igual o valor da integral, é o mesmo conceito que você verá em Força Média!!

Vamos para a letra a), lembrando que queremos descobrir o   x   * .

∫ 0 5 ( x ) d x = f (   x   * ) ( 5 - 0 )

Vamos calcular essa integral.

∫ 0 5 ( x ) d x

∫ 0 5 ( x ) d x = x 2 2 5 0 = 25 2 - 0 = 25 2

Retomando a expressão do teorema médio.

25 2 = f (   x   * ) ( 5 )

Então:

f   x   * = 2 5 5 × 2 = 5 2

Já calculamos f   x   * = 5 2 , agora precisamos saber qual é esse valor de   x   * .

Se f   x   * = 5 2   , então:

  x   * = 5 2  

Para desenharmos o gráfico como na figura 5.6.10, temos que desenhar o gráfico da função y = x e um retângulo de altura f   x   * = 5 2   e de intervalo entre 0 e 5 .

Passo 2

Vamos para a letra b), lembrando que queremos descobrir o   x   * .

∫ 3 9 ( 5 ) d x = f (   x   * ) ( 9 - 3 )

Vamos calcular essa integral.

∫ 3 9 5 d x

∫ 3 9 ( 5 ) d x = 5 x 9 3 = 45 - 15 = 30

Retomando a expressão do teorema médio.

30 = f (   x   * ) 6

Então:

f   x   * = 30 6 = 5

Já calculamos f   x   * = 5 , agora precisamos saber qual é esse valor de   x   * .

Só que f   x   * = 5 é verdade para qualquer de f ( x ) entre 3 e 9 .

Para desenharmos o gráfico como na figura 5.6.10, temos que desenhar o gráfico da função y = 5 e um retângulo de altura f   x   * = 5 e de intervalo entre 3 e 9 .

Só que se você perceber, vamos desenhar dois gráficos iguais, então vou apenas desenhar uma vez.

Passo 3

Vamos para a letra b), lembrando que queremos descobrir o   x   * .

∫ - 1 2 x + 3 d x = f (   x   * ) ( 2 - ( - 1 ) )

Vamos calcular essa integral

∫ - 1 2 x + 3 d x

∫ - 1 2 ( x + 3 ) d x = x 2 2 + 3 x 2 - 1 = 4 2 + 3 × ( 2 ) - 1 2 + 3 × - 1 = 8 + 5 2 = 21 2

Retomando a expressão do teorema médio.

21 2 = f (   x   * ) ( 3 )

Então:

f   x   * = 21 3 × 2 = 7 2

Já calculamos f   x   * = 7 2 , agora precisamos saber qual é esse valor de   x   * .

Se f   x   * = 7 2 , então:

  x   * + 3 = 7 2

  x   * = 7 2 - 3 = 1 2

Para desenharmos o gráfico como na figura 5.6.10, temos que desenhar o gráfico da função y = x + 3 e um retângulo de altura f   x   * = 3 e de intervalo entre - 1 e 2 .

Resposta

a) f   x   * = 5 2 x   * = 5 2

b)   f   x   * = 5 3 ≤ x   * ≤ 9

c)   f   x   * = 7 2 x   * = 1 2

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No Exercícioy = x ∫ 2 x 2s e n( t 3 ) d t , determine d y d x .
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