1.Calcule.

∫ sin 5 ⁡ x cos ⁡ x d x

Passo 1

É uma questão de trocarmos a nossa variável, para conseguirmos fazer esse problema, então vamos lá!!!!

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável, chamaremos sin ⁡ x de u :

sin ⁡ x   = u

E derivaremos dos dois lados:

cos ⁡ x d x = d u

Passo 2

Elevaremos a quinta potência essa expressão ( sin ⁡ x   = u ), pois olha lá na expressão da questão, não temos sin ⁡ x , mas s i n 5 x . Fazendo essa operação bem marota, temos:

sin ⁡ x   = u

sin 5 ⁡ x   = u 5

Agora que temos todos os “integrantes” da integral em função de u , podemos substituir a variável x e facilitar nosso problema:

∫ sin 5 ⁡ x cos ⁡ x d x   = ∫ u 5 ⁡ d u

Passo 3

Lembrando que a integral de função polinomial é: ∫ u n d u   =   1 n + 1 u n + 1 + c

Para a integral da questão n   =   5

∫ u 5 ⁡ d u   =   1 6 u 6 + c

Voltamos a variável inicial, substituindo u   =   sin ⁡ x e teremos a nossa resposta:

∫ sin 5 ⁡ x cos ⁡ x d x   =   1 6 sin 6 ⁡ x   +   c

Resposta

∫ sin 5 ⁡ x cos ⁡ x d x   =   1 6 sin 6 ⁡ x   +   c

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