Enunciado

Calcule a integral definida abaixo:

int_(- (2)/(sqrt(5)))^(- (√ 6)/(√ 5)) (d y)/(|y| sqrt(5 y^2 - 3))

Passo 1

Vamos aplicar a técnica de integração por substituição . Neste caso, a fim de simplificar nossa raiz, vamos substituir y por uma função de u e que resulte em um dy=f’(u) conveniente que irá possibilitar a integração. Assim temos:

int_(- (2)/(sqrt(5)))^(- (√ 6)/(√ 5)) (d y)/(|y| sqrt(5 y^2 - 3))

y = (sqrt(3))/(sqrt(5)) u d y = (sqrt(3))/(sqrt(5)) d u

Além disso, vamos mudar os limites de integração fazendo k = f(u), em que k são os limites de integração inicial da integral, e o valor de u que satisfizer a operação irá substituir cada um respectivamente, a fim de facilitar os cálculos. Lembre-se que ao fazer isso, após integrar você não precisa substituir u pela função atribuída a ele.

- (sqrt(6))/(sqrt(5)) = (sqrt(3))/(sqrt(5)) (u) => - (sqrt(6))/(sqrt(3)) = u => - sqrt(2) = u

- (2)/(sqrt(5)) = (sqrt(3))/(sqrt(5)) (u) => - (2)/(sqrt(3)) = u

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

int_(- (2)/(sqrt(5)))^(- (√ 6)/(√ 5)) (d y)/(|y| sqrt(5 y^2 - 3)) = int_(- (2)/(sqrt(3)))^(- sqrt(2)) (1)/(|(sqrt(3))/(sqrt(5)) u| sqrt(5 ((sqrt(3))/(sqrt(5)) u)^2 - 3)) (sqrt(3))/(sqrt(5)) d u = int_(- (2)/(sqrt(3)))^(- sqrt(2)) (1)/(|u| sqrt(3 u^2 - 3)) d u =

= int_(- (2)/(sqrt(3)))^(- sqrt(2)) (1)/(|u| sqrt(3) sqrt(u^2 - 1)) d u = (1)/(sqrt(3)) int_(- (2)/(sqrt(3)))^(- sqrt(2)) (1)/(|u| sqrt(u^2 - 1)) d u

Passo 3

Essa integral é uma integral direta trigonométrica . Assim, temos que:

(1)/(sqrt(3)) int_(- (2)/(sqrt(3)))^(- sqrt(2)) (1)/(|u| sqrt(u^2 - 1)) d u = (1)/(sqrt(3)) ( sec^(- 1) |u| ) (- sqrt(2))/(- (2)/(sqrt(3)))

Uma dica para esse tipo de questão é se perguntar “qual função eu derivo para obter esse resultado?” . Neste caso a derivada de sec^(- 1) (y) = (1)/(|y| sqrt(y^2 - 1 )) , como a integral é a operação inversa da derivada você chega quase de imediato na sua respota, devendo ficar atento com o argumento da função !

Passo 4

Por fim substituiremos os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

(1)/(sqrt(3)) ( sec^(- 1) |u| ) (- sqrt(2))/(- (2)/(sqrt(3))) = (1)/(sqrt(3)) (sec^(- 1) (- sqrt(2)) - sec^(- 1) (- (2)/(sqrt(3)))) = (1)/(sqrt(3)) ((3 pi)/(4) - (5 pi)/(6)) = (1)/(sqrt(3)) (- (pi)/(12))

Resposta

- (pi)/(12 sqrt(3))

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