Calcule a integral definida abaixo:

∫ - 2 5 - √ 6 √ 5 d y y 5 y 2 - 3

Passo 1

Vamos aplicar a técnica de integração por substituição . Neste caso, a fim de simplificar nossa raiz, vamos substituir y por uma função de u e que resulte em um dy=f’(u) conveniente que irá possibilitar a integração. Assim temos:

∫ - 2 5 - √ 6 √ 5 d y y 5 y 2 - 3

y = 3 5   u d y = 3 5   d u

Além disso, vamos mudar os limites de integração fazendo k = f(u), em que k são os limites de integração inicial da integral, e o valor de u que satisfizer a operação irá substituir cada um respectivamente, a fim de facilitar os cálculos. Lembre-se que ao fazer isso, após integrar você não precisa substituir u pela função atribuída a ele.

- 6 5 = 3 5 u ⇒ - 6 3 = u ⇒ - 2 = u

- 2 5   = 3 5 u ⇒ - 2 3 = u

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ - 2 5 - √ 6 √ 5 d y y 5 y 2 - 3 =   ∫ - 2 3 - 2 1 3 5     u 5 3 5     u 2 - 3 3 5   d u =   ∫ - 2 3 - 2 1   u 3 u 2 - 3   d u =

= ∫ - 2 3 - 2 1   u 3   u 2 - 1   d u = 1 3 ∫ - 2 3 - 2 1   u   u 2 - 1   d u

Passo 3

Essa integral é uma integral direta trigonométrica . Assim, temos que:

1 3 ∫ - 2 3 - 2 1   u   u 2 - 1   d u = 1 3 ( sec - 1 ⁡   u ) - 2 - 2 3

Uma dica para esse tipo de questão é se perguntar “qual função eu derivo para obter esse resultado?” . Neste caso a derivada de sec - 1 ⁡ y = 1 y y 2 - 1     , como a integral é a operação inversa da derivada você chega quase de imediato na sua respota, devendo ficar atento com o argumento da função !

Passo 4

Por fim substituiremos os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

1 3 ( sec - 1 ⁡   u ) - 2 - 2 3 = 1 3 sec - 1 ⁡ - 2 - sec - 1 ⁡ - 2 3 = 1 3 3 π 4 - 5 π 6 = 1 3 - π 12

Resposta

- π 12 3

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