Calcule a integral definida abaixo:

∫ - 3 4 3 4   ⁡ 6 9 - 4 x 2     d x

Passo 1

Vamos aplicar a técnica de integração por substituição . Neste caso, a fim de simplificar nossa raiz, vamos substituir x por uma função de u e que resulte em um dx=f’(u) conveniente que irá possibilitar a integração. Assim temos:

∫ - 3 4 3 4   ⁡ 6 9 - 4 x 2     d x

x = 3 2 s e n ( u ) d x = 3 2 cos ⁡ u   d u

Além disso, vamos mudar os limites de integração fazendo k = f(u), em que k são os limites de integração inicial da integral, e o valor de u que satisfizer a operação irá substituir cada um respectivamente, a fim de facilitar os cálculos. Lembre-se que ao fazer isso, após integrar você não precisa substituir u pela função atribuída a ele.

3 4 = 3 2 s e n u ⇒ 1 2 = s e n u ⇒ u = π 6

- 3 4 = 3 2 s e n u ⇒ - 1 2 = s e n u ⇒ u = - π 6

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a contasnte do integrando temos:

∫ - 3 4 3 4   ⁡ 6 9 - 4 x 2     d x =   6 ∫ - π 6 π 6   1 9 - 4 3 2 s e n u 2   3 2 cos ⁡ u d u =

6 × 3 2 × 1 3 ∫ - π 6 π 6   ⁡ 1 1 - s e n 2 ( u )   cos ⁡ u d u =    

3 ∫ - π 6 π 6   ⁡ 1 cos 2 ⁡ ( u )   cos ⁡ u d u =   3 ∫ - π 6 π 6 d u    

Passo 3

Agora utilizaremos a regra de integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

3 ∫ - π 6 π 6 d u   = 3 ( u ) π 6 - π 6

Passo 4

Por fim substituiremos os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

  3 u π 6 - π 6   = 3 π 6 - - π 6 = 3 2 π 6 = 3 π 3 = π

Resposta

π

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