1.Calcule ∫ - π π sin m x sin n x d x Passo 1Lembrando da Formula : sin a sin b = 1 2 cos a - b - cos a + b Fazendo a = m x e b = n x sin m x sin 4 n x = 1 2 cos m - n x - cos m + n x Passo 2Agora substituiremos a expressão na integral e calcularemos sua primitiva : ∫ sin m x sin n x d x = 1 2 ∫ cos m - n x d x - 1 2 cos m + n x d x Agora trabalharemos com duas suposições, m = n e m ≠ n : 1 ° s u p o s i ç ã o m = n : ç ã ∫ sin m x sin n x d x = 1 2 ∫ cos 0 x d x - 1 2 cos 2 m x d x ∫ sin m x sin n x d x = 1 2 ∫ d x - 1 2 ∫ cos 2 m x d x ∫ sin m x sin n x d x = 1 2 x - 1 2 sin 2 m x + C 2 ° s u p o s i ç ã o m ≠ n ç ã : ∫ sin m x sin n x d x = 1 2 ∫ cos m - n x d x - 1 2 cos m + n x d x ∫ sin m x sin n x d x = 1 2 m - n sin m - n x - 1 2 m + n sin m + n x + C Passo 3Lembrando que sin ( - x ) = - sin x Calcularemos a Integral definida : 1 ° s u p o s i ç ã o m = n : ç ã ∫ - π π sin m x sin n x d x = 1 2 π - 1 2 sin 2 m π - 1 2 - π - 1 2 sin - 2 m π ∫ - π π sin m x sin n x d x = 1 2 π - 1 2 sin 2 m π - - 1 2 π + 1 2 sin 2 m π ∫ - π π sin m x sin n x d x = 1 2 π - 1 2 sin 2 m π + 1 2 π - 1 2 sin 2 m π ∫ - π π sin m x sin n x d x = π - sin 2 m x Repare que : sin ( 2 k x ) = 0 , ∀ k ∈ N ∫ - π π sin m x sin n x d x = π 2 ° s u p o s i ç ã o m ≠ n ç ã : ∫ - π π sin m x sin n x d x = sin m - n π 2 m - n - sin m + n π 2 m + n - sin - m - n π 2 m - n - sin - m + n π 2 m + n ∫ - π π sin m x sin n x d x = sin m - n π 2 m - n - sin m + n π 2 m + n - - sin m - n π 2 m - n + sin m + n π 2 m + n ∫ - π π sin m x sin n x d x = sin m - n π m - n - sin m + n π m + n Repare ainda que sin k π = 0 ∀ k ∈ Z Logo podemos concluir que : sin m - n π = sin m + n π = 0 Então ∫ - π π sin m x sin n x d x = 0 RespostaPara m = n : ∫ - π π sin m x sin n x d x = π Para m ≠ n : ∫ - π π sin m x sin n x d x = 0 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosUse os resultados das Equações 1 e 3 para calcular as integrais nos Exercícios 29-40.29 ∫ 1 2 xd xNos Exercícios 23-28, use áreas para calcular as integrais.26f(x) = raiz(4 - x^2), e m [-2,2] e b [0,2]Ver TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre IntegraisLista de exercícios de Introdução e Definição de IntegralVer exercício 12.6 - 1dVer exercício 12.1 - 17b