1.Calcule

∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x  

Passo 1

Lembrando da Formula :

sin ⁡ a sin ⁡ b =   1 2 cos ⁡ a - b - cos ⁡ a + b

Fazendo a = m x e b = n x

sin ⁡ m x sin ⁡ 4 n x =   1 2 cos ⁡ m - n x -   cos ⁡ m + n x

Passo 2

Agora substituiremos a expressão na integral e calcularemos sua primitiva :

∫ sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x =   1 2 ∫ cos ⁡ m - n x d x -   1 2 cos ⁡ m + n x d x

Agora trabalharemos com duas suposições, m = n           e           m ≠ n :

1 °   s u p o s i ç ã o   m = n   :

∫ sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x =   1 2 ∫ cos ⁡ 0 x d x -   1 2 cos ⁡ 2 m x d x

∫ sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x =   1 2 ∫ d x - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 m x d x

∫ sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x =   1 2 x   - 1 2 sin ⁡ 2 m x   + C

2 °   s u p o s i ç ã o   m ≠ n :

∫ sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x =   1 2 ∫ cos ⁡ m - n x d x -   1 2 cos ⁡ m + n x d x

∫ sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x = 1 2 m - n sin ⁡ m - n x - 1 2 m + n sin ⁡ m + n x + C

Passo 3

Lembrando que sin ⁡ ( - x ) = - sin ⁡ x    

Calcularemos a Integral definida :

1 °   s u p o s i ç ã o   m = n   :

∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x = 1 2 π - 1 2 sin ⁡ 2 m π - 1 2 - π - 1 2 sin ⁡ - 2 m π  

∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x = 1 2 π - 1 2 sin ⁡ 2 m π - - 1 2 π + 1 2 sin ⁡ 2 m π  

∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x = 1 2 π - 1 2 sin ⁡ 2 m π + 1 2 π - 1 2 sin ⁡ 2 m π

∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x   = π - sin ⁡ 2 m x

Repare que : sin ⁡ ( 2 k x ) = 0   ,   ∀   k ∈ N

∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x   = π

2 °   s u p o s i ç ã o   m ≠ n :

∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x   = sin ⁡ m - n π 2 m - n - sin ⁡ m + n π 2 m + n - sin ⁡ - m - n π 2 m - n - sin ⁡ - m + n π 2 m + n

∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x   = sin ⁡ m - n π 2 m - n - sin ⁡ m + n π 2 m + n - - sin ⁡ m - n π 2 m - n + sin ⁡ m + n π 2 m + n

∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x   = sin ⁡ m - n π m - n - sin ⁡ m + n π m + n

Repare ainda que           sin ⁡ k π = 0         ∀   k   ∈   Z  

Logo podemos concluir que :

sin ⁡ m - n π = sin ⁡ m + n π = 0

Então ∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x   = 0

Resposta

Para m = n   :

∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x   =   π

Para m ≠ n   :

∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x   = 0

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