Calcule.

∫ 2 x + 2 x - 1 2 d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, e alguns dos fatores são repetidos, vamos então usar a seguinte fórmula:

2 x + 2 x - 1 2 = A x + 2 + B x - 1 + C x - 1 2

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x + 2 x - 1 2 :

2 x + 2 x - 1 2 x + 2 x - 1 2 = A x + 2 x - 1 2 x + 2 + B x + 2 x - 1 2 x - 1 + C x + 2 x - 1 2 x - 1 2 →

→ 2 = A x - 1 2 + B x + 2 x - 1 + C x + 2

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

2 = A x - 1 2 + B x + 2 x - 1 + C x + 2

2 = A x 2 - 2 x + 1 + B x 2 - x + 2 x - 2 + C x + 2 C

2 = A x 2 - 2 A x + A + B x 2 + x - 2 + C x + 2 C

2 = A x 2 - 2 A x + A + B x 2 + B x - 2 B + C x + 2 C

2 = x 2 A + B + x - 2 A + B + C + A - 2 B + 2 C

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 0 → A = - B - 2 A + B + C = 0 A - 2 B + 2 C = 2

Usando o A isolado na primeira e substituindo nas outras duas, ficamos com:

- 2 - B + B + C = 0 → 3 B + C = 0 → C = - 3 B - B - 2 B + 2 C = 2 → - 3 B + 2 C = 2

Usando o C isolado na primeira e substituindo na segunda:

- 3 B + 2 C = 2 → - 3 B + 2 - 3 B = 2 → - 3 B - 6 B = 2 → B = - 2 9

Passo 2

Agora vamos achar os valores de A e C :

A = - B = - - 2 9 = 2 9

C = - 3 B = - 3 - 2 9 = + 2 3

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 2 x + 2 x - 1 2 d x = ∫ 2 9 x + 2 + - 2 9 x - 1 + 2 3 x - 1 2 d x =

= ∫ 2 9 x + 2 - 2 9 x - 1 + 2 3 x - 1 2 d x = ∫ 2 9 x + 2 d x + ∫ - 2 9 x - 1 d x + ∫ 2 3 x - 1 2 d x

Pronto, agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 3

Vamos usar a Regra da Substituição em cada uma, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

Na primeira:

u = x + 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 2 9 x + 2 d x = 2 9 ∫ 1 x + 2 d x = 2 9 ∫ 1 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

2 9 ∫ 1 u d u = 2 9 ln ⁡ u + C

Passo 4

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição também:

v = x - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 2 9 x - 1 d x = - 2 9 ∫ 1 x - 1 d x = - 2 9 ∫ 1 v d v

Vamos usar a mesma expressão da anterior para achar as primitivas da função:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 2 9 ∫ 1 v d v = - 2 9 ln ⁡ v + C

Passo 5

Com a última vamos usar a Regra da Substituição também:

t = x - 1

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 2 3 x - 1 2 d x = 2 3 ∫ 1 x - 1 2 d x = 2 3 ∫ 1 t 2 d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

2 3 ∫ 1 t 2 d t = 2 3 ∫ t - 2 d t = 2 3 ⋅ t - 2 + 1 - 2 + 1 + C = 2 3 ⋅ t - 1 - 1 + C = - 2 3 t + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

∫ 2 x + 2 x - 1 2 d x = ∫ 2 9 x + 2 d x + ∫ - 2 9 x - 1 d x + ∫ 2 3 x - 1 2 d x = 2 9 ln ⁡ u - 2 9 ln ⁡ v - 2 3 t + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 2 x + 2 x - 1 2 d x = 2 9 ln ⁡ u - 2 9 ln ⁡ v - 2 3 t + C = 2 9 ln ⁡ x + 2 - 2 9 ln ⁡ x - 1 - 2 3 x - 1 + C

Resposta

∫ 2 x + 2 x - 1 2 d x = 2 9 ln ⁡ x + 2 - 2 9 ln ⁡ x - 1 - 2 3 x - 1 + C

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