Enunciado

Calcule.

int (2)/((x + 2) (x - 1)^2) d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, e alguns dos fatores são repetidos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(2)/((x + 2) (x - 1)^2) = (A)/(x + 2) + (B)/(x - 1) + (C)/((x - 1)^2)

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x + 2) (x - 1)^2 :

(2 (x + 2) (x - 1)^2)/((x + 2) (x - 1)^2) = (A (x + 2) (x - 1)^2)/(x + 2) + (B (x + 2) (x - 1)^2)/(x - 1) + (C (x + 2) (x - 1)^2)/((x - 1)^2) ->

-> 2 = A (x - 1)^2 + B (x + 2) (x - 1) + C (x + 2)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

2 = A (x - 1)^2 + B (x + 2) (x - 1) + C (x + 2)

2 = A (x^2 - 2 x + 1) + B (x^2 - x + 2 x - 2) + C x + 2 C

2 = A x^2 - 2 A x + A + B (x^2 + x - 2) + C x + 2 C

2 = A x^2 - 2 A x + A + B x^2 + B x - 2 B + C x + 2 C

2 = x^2 (A + B) + x (- 2 A + B + C) + (A - 2 B + 2 C)

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 0 -> A = - B],[- 2 A + B + C = 0],[A - 2 B + 2 C = 2]])

Usando o A isolado na primeira e substituindo nas outras duas, ficamos com:

{[[- 2 (- B) + B + C = 0 -> 3 B + C = 0 -> C = - 3 B],[- B - 2 B + 2 C = 2 -> - 3 B + 2 C = 2]])

Usando o C isolado na primeira e substituindo na segunda:

- 3 B + 2 C = 2 -> - 3 B + 2 (- 3 B) = 2 -> - 3 B - 6 B = 2 -> B = - (2)/(9)

Passo 2

Agora vamos achar os valores de A e C :

A = - B = - (- (2)/(9)) = (2)/(9)

C = - 3 B = - 3 (- (2)/(9)) = + (2)/(3)

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (2)/((x + 2) (x - 1)^2) d x = int ((2)/(9))/(x + 2) + (- (2)/(9))/(x - 1) + ((2)/(3))/((x - 1)^2) d x =

= int (2)/(9 (x + 2)) - (2)/(9 (x - 1)) + (2)/(3 (x - 1)^2) d x = int (2)/(9 (x + 2)) d x + int - (2)/(9 (x - 1)) d x + int (2)/(3 (x - 1)^2) d x

Pronto, agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 3

Vamos usar a Regra da Substituição em cada uma, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

Na primeira:

u = x + 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (2)/(9 (x + 2)) d x = (2)/(9) int (1)/((x + 2)) d x = (2)/(9) int (1)/(u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

(2)/(9) int (1)/(u) d u = (2)/(9) ln |u| + C

Passo 4

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição também:

v = x - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (2)/(9 (x - 1)) d x = - (2)/(9) int (1)/((x - 1)) d x = - (2)/(9) int (1)/(v) d v

Vamos usar a mesma expressão da anterior para achar as primitivas da função:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- (2)/(9) int (1)/(v) d v = - (2)/(9) ln |v| + C

Passo 5

Com a última vamos usar a Regra da Substituição também:

t = x - 1

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (2)/(3 (x - 1)^2) d x = (2)/(3) int (1)/((x - 1)^2) d x = (2)/(3) int (1)/(t^2) d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

(2)/(3) int (1)/(t^2) d t = (2)/(3) int t^(- 2) d t = (2)/(3) * (t^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = (2)/(3) * (t^(- 1))/(- 1) + C = - (2)/(3 t) + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

int (2)/((x + 2) (x - 1)^2) d x = int (2)/(9 (x + 2)) d x + int - (2)/(9 (x - 1)) d x + int (2)/(3 (x - 1)^2) d x = (2)/(9) ln |u| - (2)/(9) ln |v| - (2)/(3 t) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (2)/((x + 2) (x - 1)^2) d x = (2)/(9) ln |u| - (2)/(9) ln |v| - (2)/(3 t) + C = (2)/(9) ln |x + 2| - (2)/(9) ln |x - 1| - (2)/(3 (x - 1)) + C

Resposta

int (2)/((x + 2) (x - 1)^2) d x = (2)/(9) ln |x + 2| - (2)/(9) ln |x - 1| - (2)/(3 (x - 1)) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Decomponha os quocientes em frações parciais: t 4 + 9 t 4 + 9 t
Expresse o integrando como soma de frações parciais e calcule a integral: ∫ 4 8 yd y y 2 - 2 y - 3
Calcule a integral : ∫ x 3 + 2 4 - x 2d x
Calcule a integral : ∫ 9d v 81 - v 4
Calcule a integral ∫ e td t e 2 t + 3 e t + 2