Calcule

∫ - π π sin ⁡ n x cos ⁡ n x d x

Passo 1

Lembrando da Formula :

sin ⁡ a cos ⁡ b =   1 2 sin ( ⁡ a + b ) + sin ⁡ ( a - b )

Para   a = n x       e         b = m x       teremo:

sin ⁡ n x cos ⁡ m x =   1 2 sin ( ⁡ n + m x ) + sin ⁡ ( n - m x )

Passo 2

Agora nos calcularemos a primitiva, contudo trabalharemos agora com duas suposições, m = n       o u         m   ≠ n   :

1 °   s u p o s i ç ã o     m = n   :

∫ sin ⁡ n x cos ⁡ m x d x = 1 2 ∫ sin ⁡ 2 m x d x + 1 2 ∫ sin ⁡ 0 d x

∫ sin ⁡ n x cos ⁡ m x d x = - cos ⁡ 2 m x 2 2 m + C =   - cos ⁡ 2 m x 4 m + C

2 °   s u p o s i ç ã o     m ≠ n   :

∫ sin ⁡ n x cos ⁡ m x d x = 1 2 ∫ sin ⁡ n + m x d x + 1 2 ∫ sin ⁡ n - m x d x

∫ sin ⁡ n x cos ⁡ m x d x =   - cos ⁡ n + m x 2 n + m +   - cos ⁡ n - m x 2 ( n - m ) + C

Passo 3

Calcularemos a Integral definida de cada caso :

- Lembrando que cos ⁡ - x = cos ⁡ x

1 °   s u p o s i ç ã o     m = n   :

∫ - π π sin ⁡ n x cos ⁡ m x d x =     - cos ⁡ 2 m π 4 m -   - cos ⁡ - 2 m π 4 m

∫ - π π sin ⁡ n x cos ⁡ m x d x =   - cos ⁡ 2 m π 4 m +   cos ⁡ 2 m π 4 m = 0

2 °   s u p o s i ç ã o     m ≠ n   :

∫ - π π sin ⁡ n x cos ⁡ m x d x =   - cos ⁡ n + m π 2 n + m +   - cos ⁡ n - m π 2 ( n - m ) - - cos ⁡ - n + m π 2 n + m +   - cos ⁡ - n - m π 2 ( n - m )

∫ - π π sin ⁡ n x cos ⁡ m x d x =   - cos ⁡ n + m π 2 n + m +   - cos ⁡ n - m π 2 ( n - m ) +   cos ⁡ n + m π 2 n + m +   cos ⁡ n - m π 2 ( n - m )

∫ - π π sin ⁡ n x cos ⁡ m x d x =   0

Resposta

∫ - π π sin ⁡ n x cos ⁡ m x d x =   0

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